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記事No.39411に関するスレッドです
★ (No Subject) / ユー
この問題教えてください
No.39409 - 2016/10/06(Thu) 18:00:39
☆ Re: / ヨッシー

ＰがＣまたはＤに来たときが最大となります。
その時のＲは、対角線ＡＣの半分です。
No.39410 - 2016/10/06(Thu) 18:19:23
☆ Re: / ユー
なるほど！
解答がこうなってるんですけど、どうして場合分けが生じるのか教えて欲しいです
No.39411 - 2016/10/06(Thu) 18:25:20
☆ Re: / angel
実は、a が小さい時は、P が CDの中点に来たときが R 最大になります。a が大きければ、C もしくは D に来たときが最大で合っています。
No.39413 - 2016/10/06(Thu) 20:01:54
☆ Re: / angel
どう解くのがベストかは分かりませんが、P の位置を元に R を表し、2次関数の最大値の問題とする方法があります。

図のように△PABの各辺の長さをp,q,r、面積を S と置くとき、外接円の半径も含めた関係は、

　R=pqr/4S

です。( これは S=1/2・qr・sinP と、正弦定理 sinP=p/2R から )

ここで、p=4, S=2a は既知です。で、未知の長さ、図中 PM=t とすると、

　q^2・r^2=(a^2+(2-t)^2)(a^2+(2+t)^2)

です。※ P が、M から見て C,D どちら寄りでも同じであることに注意

ということで、

　R=pqr/4S=p/4S・√( (qr)^2 ) から
　R=√( t^4+2(a^2-4)t^2+a^4+8a^2+16 )/2a

一見 t の4次式ですが、x=t^2 と置き直すと

　R=√( x^2+2(a^2-4)x+a^4+8a^2+16 )/2a

と、2次式の問題になります。

x=t^2 の範囲、0≦x≦4 に注意すると、

　a＞√2 の時、x=4 で R 最大 ( P が C,D に一致 )
　a=√2 の時、x=0,4 で R 最大 ( P が C,D,M に一致 )
　a＜√2 の時、x=0 で R 最大 ( P が M に一致 )

となります。( 答えとしては、a=√2 のケースは、a＞√2, a＜√2 のどちらかと併せてしまいます )
No.39416 - 2016/10/06(Thu) 20:35:46
☆ Re: / noname
次の様に「∠APBの大きさの変化を考える」ことにより解答してもよいです．


[解答例]
線分CDの中点をMとする．点Aから直線BPへ垂線を引いた時に交わる点をDとすると，三角形APBの面積の式として，

1/2・4・a＝1/2・AD・√(a^2+4).
∴AD＝4a/√(a^2+4).
∴sin∠AMB＝sin(180°-∠AMP)＝AD/AM＝4a/(a^2+4).

また，sin∠ACBの値は

sin∠ACB＝AB/AC＝4/√(a^2+16).

よって，∠ACB+∠AMB＝180°ならば，

sin∠ACB＝sin∠AMB.
∴a^2+4＝a√(a^2+16).
∴(a^2+4)^2＝a^2(a^2+16)
∴a^2＝2
∴a＝±√2.

a＞0よりa＝√2である．ところで，点PがCからMに移動するにつれて∠APBの大きさは増加し，PがMからDに移動するにつれて∠APBの大きさは減少する(この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく)．このことに注意すると，次の3つに場合分けすることが出来る．

?@a＞√2の時
点C,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/√(a^2+16))＝√(a^2+16)/2＝√(a^2/4+4).
?Aa＝√2の時
点C,M,Dでsin∠APBは最小となるから，点C,M,DでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4/(3√2))＝3√2/2.
?B0＜a＜√2の時
点Mでsin∠APBは最小となるから，点MでRは最大となる(正弦定理による)．よって，この場合でのRの最大値は

4/(2・4a/(a^2+4))＝(a^2+4)/(2a).

以上により，Rの最大値は次の通りである：

・0＜a＜√2の時，Rの最大値は(a^2+4)/(2a)(P＝Mの時)．
・a＝√2の時，Rの最大値は3√2/2(P＝C,M,Dの時)．
・a＞√2の時，Rの最大値は√(a^2/4+4)(P＝C,Dの時)．
No.39420 - 2016/10/06(Thu) 21:58:34
☆ Re: / noname
>この点については初等幾何的に考察して論ずることは可能だろうが，面倒なのでここではそれを省略しておく


と書きましたが，これの確認の概略を以下に与えておきます．一度お考えください．

[確認の概略]
線分CM上に異なる2点Q,Rをとる．QはCの側に，RはMの側にあると仮定してもよい．点Qは3点A,R,Bを通る円の外側にあるため，∠AQB＜∠ARBである．よって，PがCからMへ移動するにつれて，∠APBは∠ACBから∠AMBへと単調に増加する．殆んど同様の議論を行うことにより，PがMからDへ移動するにつれて∠APBは∠AMBから∠ADBへと単調に減少することが分かる．
No.39421 - 2016/10/06(Thu) 22:15:59
☆ Re: / ユー
丁寧に説明してくださってありがとうございます！
いろんなアプローチを知ることができて勉強になりました！
No.39422 - 2016/10/06(Thu) 22:55:25