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記事No.39436に関するスレッドです
★ (No Subject) / アカシロトモ
こんばんは、よろしくお願いします。
下の問題で、次の通り途中までは、分かりましたが
中点を求める式変形が分かりません。教えてください。

点Bを原点にとり、直線ｌを実軸とする複素数平面を考えると、点Aは虚軸上の点なので、
aを実数としてA(ai),P(z),R(w)とおける。
PとQは実軸に対して対称なので、Q(z~)である。(z=z~)
z=x+yiとおいて、w=(cos2θ+isin2θ)(z~-ai)+aiから、
w=(x-yi-ai)(cos2θ+isin2θ)+ai
=｛xcos2θ+(y+a)sin2θ｝+｛xsin2θ-(y+a)cos2θ+a｝i
ここで、PRの中点Mの複素数をuとおくと　

問題
平面上に, 直線lと, 直線l上にない点Aをとる。
直線l上に点Bを線分ABと直線lが直交するようにとり,
点Bを中心として直線lを角度θだけ回転して
得られる直線をmとする。
直線l上にない点Pをとり,
直線lに関して点Pと対称な点Qをとる。
また, 点Aを中心として点Qを角度2θだけ回転して
得られる点をRとする。
このとき, 線分PRの中点Mは直線ｍ上にあることを
証明しなさい。
No.39428 - 2016/10/07(Fri) 18:28:26
☆ Re: / angel
P(z)とR(w) の中点は (z+w)/2 ですよ。
No.39430 - 2016/10/07(Fri) 20:31:31
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

いつもすみません。
言葉足らずで申し訳ありませんでした。
(z+w)/2　の計算の結果、
｛xcosθ＋(y＋a)sinθ｝(cosθ+isinθ)
が導けるはずなのですが、その計算過程が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.39431 - 2016/10/07(Fri) 20:43:31
☆ Re: / angel
sin,cosそれぞれの倍角を使います。

sinの倍角は、sin2θ=2sinθcosθ で決まりですが、
cosの倍角は、cos2θ=2(cosθ)^2-1=1-2(sinθ)^2 と2通り使い方がありますから、綺麗になる方を選びます。

※端的に言うと、1+cos2θ=2(cosθ)^2, 1-cos2θ=2(sinθ)^2 ということですね。これは結構良く使う形です。
No.39432 - 2016/10/07(Fri) 21:16:05
☆ Re: / angel
まあ、複素平面なので、cos,sin を使わずに、複素共役だけで計算しても良いとは思います。
No.39433 - 2016/10/07(Fri) 21:23:50
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

ありがとうございます。
今から計算してみます。
No.39434 - 2016/10/07(Fri) 21:33:51
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

おかげさまで、三角関数の計算はできました。
すみません、複素共役だけで計算する方法を教えていただけないでしょうか。お手数おかけいたします。
No.39435 - 2016/10/07(Fri) 21:44:53
☆ Re: / angel
こんな感じですかね。

この例では、敢えて直線lも点A,Bも一般の値でやってますが、アカシロトモさんのように、分かり易い直線・点にした方が計算がやり易いと思います。
No.39436 - 2016/10/07(Fri) 22:23:27
☆ Re: / angel
ちょっと複素共役のバーが見え辛いですがご容赦を。
あと、「Aに関してPを2θ回転させた点R」のPはQの誤植です。すいません。

ところで、計算のところで「先に?@?Aを使いやすい形にしておく」と書いてますが、これはもちろん嘘 ( というか説明上の便宜 ) で、実際には先に計算を進めて整理をして残った形を処理するために、?@?Aをこねくりまわす、というように考えています。
No.39437 - 2016/10/07(Fri) 22:31:11
☆ Re: / アカシロトモ
angelさん

大変お手数おかけいたしました。
今から、しっかり読みこみます。
No.39438 - 2016/10/07(Fri) 22:37:42
☆ Re: / アカシロトモ
angelさん

複素数平面の授業が始まったばかりで、平行、垂直条件など
まだ十分に理解できていないのですが、
今週から来週にかけての授業の進行とともに、
教えていただいた解答をしっかり習得したいと思います。
詳細な解説ありがとうございました
No.39440 - 2016/10/07(Fri) 23:57:27
☆ Re: / angel
平行・垂直は、先日にも出た話と同じですよ。

z,wを通る直線とcとが

　平行 ⇔ (z-w)/c が実数 ⇔ (z-w)/c=~( (z-w)/c )
　垂直 ⇔ (z-w)/c が純虚数 ⇔ (z-w)/c=-~( (z-w)/c )
　※垂直に関しては、i×c と平行と考えても良いです。
No.39441 - 2016/10/08(Sat) 00:01:30
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

　昨日また回答いただいていたのですね。
その後、いただいた内容を画面コピーして
平行、垂直条件、回転などを以前解説いただいた
分と一緒に復習しながら読み込んだのですが、
このサイトを今帰宅するまで、見ておりませんでした。
大変失礼いたしました。
　ご指摘の通り、平行、垂直条件については理解できました。ただ、今朝まで考えていろいろ調べても理解できなかったのが回転です。
Bを通り、𝑙をθ回転させた直線ｍの式が
~(cd)z-cd~z=~(cd)b-cd~b
Aに関してPを2θ回転させた点R:r=d^2(q-a)+aが分かりません。

回転は、αを中心として𝛽を反時計周りにθ回転させた
点γが、γ＝(cosθ+isinθ)(𝛽-α)+α
また、α=|α|(cosθ+isinθ)
→θ回転を表す複素数はcosθ+isinθ＝α/|α|
よって、ｚを-θ回転した点は、(|α|/α)z
ここまで調べても、angelさんの
~(cd)z-cd~z=~(cd)b-cd~b　, r=d^2(q-a)+a
の意味が理解できませんでした。
これ以外は、詳しい解説のおかげで理解できました。
この回転に関する部分を教えていただけないでしょうか。
何度もご迷惑をおかけしたうえで、申し訳ありません。
No.39446 - 2016/10/08(Sat) 12:33:11
☆ Re: / angel
いえ、こちらは好きでやってるのですし、特に急かすつもりもないので、そんなに改まらなくても。

さて、疑問のある部分については、「cosθ+isinθのことを d と書いているから」ではあるのですが。( |d|=1, arg(d)=θなので )

敢えて…、というほどでもないですが、そういう書き方をしたのは、cos,sinを完全に忘れて計算を進められるというのもあるからです。
まあ、どちらが使い易いか、は人によると思うのですが、こういう計算の進め方がある、というのは知って置いた方が良いでしょう。
No.39459 - 2016/10/08(Sat) 20:33:16
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

本当に申し訳ありません。
今から読み込んで考えます。
No.39460 - 2016/10/08(Sat) 20:39:29
☆ Re: / アカシロトモ
angel さん

1.dが d=cosθ+isinθ　の意味であること、
2.cd ,〜cdの意味,
3.d^2=が d^2＝cos2θ+isin2θ の意味であること
以上の3点が分かっていなかったので、
全体が理解できていませんでしたが、
おかげさまでよく理解できました。
また、一般化していただいて応用性も期待できます。
毎回、本質的なご解説をいただきまして、
本当に感謝いたしております。
ありがとうございました。

No.39461 - 2016/10/08(Sat) 22:06:13