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記事No.39527に関するスレッドです
★ 空間ベクトル / わわ
解き方を教えてほしいです
よろしくお願いします
No.39527 - 2016/10/12(Wed) 14:07:22
☆ Re: 空間ベクトル / X
4↑PA+5↑PB+6↑PC=↑O (A)
4↑QA+5↑QB+6↑QC+7↑QD=↑O (B)
とします。
(1)
(A)より
-4↑AP+5(↑AB-↑AP)+6(↑AC-↑AP)=↑O
これを↑APについて解いて
↑AP=(5↑AB+6↑AC)/15
(2)
(1)の結果により
↑AP=(11/15)(5↑AB+6↑AC)/11
∴点Pは辺BCを6:5に内分する点をRとするとき
線分ARを11:4に内分する点
ということになります。
よって、例えば△ABCの面積を
S[△ABC]
と書くことにすると
S[△PAB]/S[△ABC]=(S[△PAB]/S[△ABR])(S[△ABR]/S[△ABC])
=(AP/AR)(BR/BC)
=(11/15)(6/11)=2/5
S[△PBC]/S[△ABC]=PR/AR=4/15
となるので
S[△PAB]:S[△PBC]=2/5:4/15=3:2

(3)
(B)より
-4↑AQ+5(↑AB-↑AQ)+6(↑AC-↑AQ)+7(↑AD-↑AQ)=↑O
∴↑AQ=(5↑AB+6↑AC+7↑AD)/22
={(5↑AB+6↑AC+7↑AD)/18}(9/11)
ここで
↑AT=(5↑AB+6↑AC+7↑AD)/18
なる点Tが△BCDを含む平面上の点であることに
注意すると、点Qを通り△BCDに平行な平面と
辺AB,AC,ADとの交点をB',C',D'としたときの
四面体AB'C'D'と四面体ABCDの相似比は
9:11
となるので、△B'C'D',△BCDを底面としたときの高さ
の比率も9:11
よって四面体QBCDと四面体ABCD、△BCDを底面とみた
ときの高さの比は2:11となるので
例えば四面体ABCDの体積を
V[ABCD]
と書くことにすると
V[QBCD]/V[ABCD]=2/11 (C)
一方、(B)より
4(↑DA-↑DQ)+5(↑DB-↑DQ)+6(↑DC-↑DQ)-7↑DQ=↑O
これより
↑DQ=(4↑DA+5↑DB+6↑DC)/22
={(4↑DA+5↑DB+6↑DC)/15}(15/22)
よって(C)の導出過程と同様な方針により
V[QABC]/V[ABCD]=(22-15)/22
=7/22 (D)
(C)(D)により
V[QABC]:V[QBCD]=2/11:7/22=4:7
No.39528 - 2016/10/12(Wed) 19:29:46
☆ Re: 空間ベクトル / わわ
説明が大変そうなのに丁寧に教えてくださってありがとうございました！
助かりました！
No.39549 - 2016/10/14(Fri) 01:50:16