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記事No.39578に関するスレッドです
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平行四辺形と面積の問題
/ seki
引用
辺の長さの比、解き方がわかりません。数学不得意なので解りやすい解説お願いします。
No.39578 - 2016/10/17(Mon) 17:11:33
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ X
引用
以下、例えば△ABCの面積をS[△ABC]と
書くことにします。
まず条件から四角形ABEDは平行四辺形
ですので
S[△ABC]=(1/2)S[△ABD]
=(1/2){(1/2)S[平行四辺形ABED]}
=(1/4)S[平行四辺形ABED] (A)
一方、BEを底辺とみたときの
平行四辺形ABEDの高さをhとすると
S[平行四辺形ABED]=BE×h
=AD×h (B)
S[台形ABCD]=(1/2)(AD+BC)h
=(1/2)(AD+(4/3)AD)h
=(7/6)AD×h (C)
(B)(C)より
S[台形ABCD]=(7/6)S[平行四辺形ABED] (D)
一方(A)より
S[平行四辺形ABED]=4S[△ABF] (E)
(D)(E)より
S[台形ABCD]=(7/6)×4S[△ABF]
=(14/3)S[△ABF]
ということで14/3倍です。
No.39583 - 2016/10/17(Mon) 19:35:42
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ noname
引用
X様の解答とほぼ同様なものですが，解答例を以下に与えておきます：
[解答例]
条件より四角形ABEDは平行四辺形であり，Fはこの平行四辺形の2本の対角線の交点なので，Fは線分AE,BDの中点です．よって，三角形ABFと三角形ABEについて，それぞれの底辺を辺AF,AEとみると，この2つの三角形の底辺に対する高さは同じなので，面積比が底辺比と同じであることから，
(三角形ABFの面積)：(三角形ABEの面積)＝AF：AE＝1：2.…?@
また，三角形ABEと三角形ABDについて，それぞれの底辺をともに辺ABとみた時，この2つの三角形の底辺に対する高さは同じです．ゆえに，
(三角形ABEの面積)＝(三角形ABDの面積).…?A
次に，三角形ABDと三角形BCDについて，それぞれの底辺を辺AD,BCとみた時，この2つの三角形の底辺に対する高さは同じです．よって，面積比と底辺比が同じであることから，
(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)＝AD：BC＝3：4.
∴(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)：(台形ABCDの面積)＝3：4：7.…?B
よって，?@,?A,?Bから
(台形ABCDの面積)＝(三角形ABFの面積)・2・7/3＝(三角形ABFの面積)・14/3.
したがって，答えは14/3倍です．
No.39585 - 2016/10/17(Mon) 20:12:32
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ありがとうございます
/ seki
引用
(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)＝AD：BC＝3：4この比の出し方がわかりません。
No.39586 - 2016/10/17(Mon) 20:34:44
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ noname
引用
>(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)＝AD：BC＝3：4この比の出し方がわかりません。
次の記述
>三角形ABDと三角形BCDについて，それぞれの底辺を辺AD,BCとみた時，この2つの三角形の底辺に対する高さは同じです．
を参考にすると，
(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)
＝(直線ADとBCの幅)・AD：(直線ADとBCの幅)・BC
＝AD：BC
＝3：4
となります．
No.39588 - 2016/10/17(Mon) 21:07:58
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ seki
引用
(台形ABCDの面積)＝(三角形ABFの面積)・2・7/3＝(三角形ABFの面積)・14/3.
すみません(三角形ABFの面積)・2・7/3 この計算式の意味がわかりません。
No.39597 - 2016/10/17(Mon) 22:21:23
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ noname
引用
>すみません(三角形ABFの面積)・2・7/3 この計算式の意味がわかりません。
台形ABCD，三角形ABD，三角形BCDの面積比は
>(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)：(台形ABCDの面積)＝3：4：7
であるので，
(台形ABCDの面積)＝(三角形ABDの面積)・7/3
となります．また，三角形ABDの面積と三角形ABEの面積は等しいので，
(台形ABCDの面積)＝(三角形ABDの面積)・7/3＝(三角形ABEの面積)・7/3
となり，三角形ABDの面積は三角形ABFの面積の2倍なので，
(台形ABCDの面積)＝(三角形ABEの面積)・7/3＝(三角形ABFの面積)・2・7/3
が成立します．
No.39607 - 2016/10/17(Mon) 23:51:21
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解説ありがとうございます
/ seki
引用
初歩的な質問ですみません。(三角形ABDの面積)：(三角形BCDの面積)：(台形ABCDの面積)＝3：4：7
三角形ABDの面積 辺の比を１とすると三角形BCDの面積４/3 台形ABCDの面積 １＋4/3で7/3 これを整数の比に直したのですね。
No.39613 - 2016/10/18(Tue) 07:28:16
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Re: 平行四辺形と面積の問題
/ noname
引用
>三角形ABDの面積 辺の比を１とすると三角形BCDの面積４/3 台形ABCDの面積 １＋4/3で7/3 これを整数の比に直したのですね。
その様に考えても構わないですが，「三角形ABDの面積を3とすると三角形BCDの面積は4であり，よって，台形ABCDの面積は3+4＝7である」と考えた方が簡潔かと思います．
No.39615 - 2016/10/18(Tue) 10:34:52
