この問題を場合分けによって最大値を求めて解こうとすると途中で行き詰まって解けません。
この問題に有効な方針や解き方を教えてください。
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No.39582 - 2016/10/17(Mon) 19:19:05
| ☆ Re: / IT | | | M(a,b)=max(b^2,(a+b)^2) なので
任意の実数a,bに対して、b^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx かつ(a+b)^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx が成り立つmの条件を見つければいい。
任意の実数a,bに対して、b^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx…(1)
任意の実数a,bに対して、(a+b)^2≦m∫[0,1](ax+b)^2dx…(2)
(1)が成り立つmの範囲と(2)が成り立つmの範囲を求めます。
共通部分の最小値が答えです。
a＝0,b≠0のときは m≧1で(1),(2) が成立します
a≠0のとき (1),(2)の両辺をa^2 で割ってt=b/a とおくと簡単になりますね。
定積分を計算して整理してみてください。
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No.39584 - 2016/10/17(Mon) 19:42:08 |
| ☆ Re: / noname | | | a＝1,b＝0の時，(*)が成立しなければならないので，
1＝M(1,0)≦m∫_[0,1]x^2dx＝m/3.
∴m≧3.
以下，m≧3の下で考えることにします．a＝0の時，m≧3を用いると
m∫_[0,1]b^2dx＝mb^2≧3b^2≧b^2＝M(0,b).
よって，m≧3かつa≠0と仮定しても構いません．また，a≠0の下では
(a+b)^2≧b^2
⇔a(a+2b)≧0
⇔b/a≧-1/2,
(a+b)^2≦b^2
⇔a(a+2b)≦0
⇔b/a≦-1/2
であるから，t＝b/aとおくと，t≧-1/2の時
(a+b)^2＝M(a,b)≦m∫_[0,1](ax+b)^2＝m(a^2+3ab+3b^2)/3
∴3(m-1)t^2+3(m-2)t+(m-3)≧0.…?@
t≦-1/2の時は
b^2＝M(a,b)≦m∫_[0,1](ax+b)^2＝m(a^2+3ab+3b^2)/3.
∴3(m-1)t^2+3mt+m≧0.…?A
よって，t≧-1/2を満たす任意の実数tに対して?@が成り立つためのmの範囲(…(i))と，t≦-1/2を満たす任意の実数tに対して?Aが成り立つためのmの範囲(…(ii))を調べる必要があります．ここから先は2次関数の問題になりますので，一度ご自身でお考えください．なお，2次関数の軸の位置を考えると(i)や(ii)について考えやすいかと思います．
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No.39612 - 2016/10/18(Tue) 04:03:17 |
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