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記事No.39603に関するスレッドです
★ 百五減算 / ふみ
76（2）の問題です。

解答の 参考 というのは、この問題の別解ということでいいのでしょうか？
最初から最後まで全く意味がわからないので、解説をお願いしますm(._.)m
105＝3×5×7だから、15,21が出てくるのはわかるのですが、どうして70？35じゃないんでしょうか？

チャートも参照したのですが、どうやらこの解き方は百五減算というらしいですね。百五減算についてもわかりやすく教えてほしいです。

ちなみに合同式は理解しています。
No.39601 - 2016/10/17(Mon) 22:58:51
☆ Re: 百五減算 / ふみ
解答です

参考 の部分がわかりません>_<
No.39603 - 2016/10/17(Mon) 23:00:47
☆ Re: 百五減算 / angel
> どうして70？35じゃないんでしょうか？
いや、えーと、気分の問題?

一応意図としては、≡1 で揃えたい、というのがあるわけですが、それ以上ではないです。

≡1 で揃えると何が嬉しいかというと、

　3 で割って a 余り、5 で割って b 余り、7 で割って c 余る数

を

　70a + 21b + 15c に合同

と一般化できるところではあります。

で、たまたま 3×5 は mod 7 で ≡1, 3×7 は mod 5 で ≡1 なのですが、5×7 だけは mod 3 で ≡1 になってないので、2 をかけて 70 とすることで調整しているのです。
No.39610 - 2016/10/18(Tue) 00:11:01
☆ Re: 百五減算 / noname
参考に対して重箱の隅を突く様なことを申しますが，

n＝70・1+21・4+15・2

としてnを設定するのはまずいかと思います．実際，nは条件を満たす様に任意に与えられた整数なので，必ずしもnが70・1+21・4+15・2であるとは限らないのです．よって，次の様に書かれるべきであると個人的にはそう思います．


[参考の後半部分について]
ここで，m＝70・1+21・4+15・2とおくと，

m≡1・1+0・4+0・2≡1（mod.3）
m≡0・1+1・4+0・2≡4（mod.5）
m≡0・1+0・4+1・2≡2（mod.7）

であるから，

n≡m（mod.3）
n≡m（mod.5）
n≡m（mod.7）

が成り立つ．ゆえに，3,5,7のどの2つも互いに素であることより

n≡m（mod.105）

が成立する．ゆえに，nを105で割った時の余りrを求めるには，mを105で割った時の余りを考えればよい．

m＝70・1+21・4+15・2＝184≡79（mod.105）

であるから，nを105で割った時の余りrは79である．
No.39611 - 2016/10/18(Tue) 00:31:21
☆ Re: 百五減算 / ふみ
参考 よりもそちらの書き方のほうがわかりやすいですね


> ゆえに，3,5,7のどの2つも互いに素であることより
>
> n≡m（mod.105）
>
> が成立する．


の部分がよくわかりません。
合同式の性質（？）みたいなものですか？
No.39619 - 2016/10/18(Tue) 15:31:54
☆ Re: 百五減算 / noname
>の部分がよくわかりません。
合同式の性質（？）みたいなものですか？


次の3つの式

n≡m（mod.3）
n≡m（mod.5）
n≡m（mod.7）

により，n-mは3の倍数かつ5の倍数かつ7の倍数です．また，3,5は互いに素なので，n-mは3・5＝15の倍数です．さらに，15と7は互いに素なので，n-mは15・7＝105の倍数です．ゆえに，

n≡m（mod.105）

が成立します．
No.39620 - 2016/10/18(Tue) 16:10:52
☆ Re: 百五減算 / ふみ
なるほど！わかりました！
ありがとうございます。
No.39622 - 2016/10/18(Tue) 19:17:51