パラメーターでしょうか？
よくわからないので解説よろしくお願いします。
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No.39714 - 2016/10/21(Fri) 22:12:21
| ☆ Re: 通過領域 / angel | | | 一つ目は、正攻法というか、計算メインで進めていく方法です。
まず、Pの点を仮に置いて、その時のlを決定します。
Pを(X,Y)と置くとき、Pは円C上にあるため、
X^2+Y^2=100 …?@
APの垂直二等分線lの方程式は、
(x-4)^2+y^2=(x-X)^2+(y-Y)^2
※APの垂直二等分線は、A,Pからの距離が等しい点の集まりであることに注意
整理して
(X-4)x+Yy=(X^2+Y^2)/2-8
⇔ (X-4)x+Yy=42 ←?@の条件を適用
次に、l上にある点Qを(p,q)と置くと、上で求めたlの方程式から
p(X-4)+qY=42 ⇔ pX+qY=4p+42 …?A
ここで問題が切り替わっています。
点Qが、ある点Pに対応するl上にある
⇔ あるX,Yに対して?@,?Aが両方成立する
⇔ (p,q)の組に対し、X,Yの連立方程式?@,?Aが解を持つ
ということで、ここからは「方程式の解の成立条件の問題」として見ていきます。
…まあ2次方程式なので、判別式に持って行ってもいいんですが、
?@は点(X,Y)に対する円の方程式、?Aは点(X,Y)に対する直線の方程式と見ることができますから、
「円と直線が共有点を持つ条件」として「円の中心・直線間の距離と円の半径との大小」で考えます。
先に、(p,q)=(0,0)だと、どのような(X,Y)に対しても?Aが成立しない、ということで除外しておきます。
(p,q)≠(0,0)に対して、(X,Y)が解を持つ条件は、
円の中心と直線間の距離 |4p+42|/√(p^2+q^2)≦10
この分母は√で正の形なので、分母を払って2乗して
(4p+42)^2≦100(p^2+q^2)
⇔ 21p^2-84p+25q^2≧441
最後に。求めるのは「l が通らない範囲」なので、条件を逆転させて、
21p^2-84p+25q^2＜441 ( もしくは(p,q)=(0,0) …だけど、この条件は不等式に吸収される )
結局、答えは楕円の内側 21x^2-84x+25y^2＜441 と分かります。
なお、標準形に直せば (x-2)^2/25+y^2/21＜1 です。
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No.39719 - 2016/10/22(Sat) 00:29:52 |
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