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記事No.39774に関するスレッドです
★ 部分空間 / らぐ
演習問題をやっている時によくわからなかった問題を教えてください.
大問1.(1) これは普通にvを(x,y,z)に代入して0となるから含むという考えでいいのですか？
(2),(3) 考え方がわかんないです.今の僕には基底を求めることくらいしかできません...

大問2 右と左の基底を求め,その後どうするのかわかりません.

大問3 大問2が理解できないためこれもできませんでしたがとりあえず基底だけは求めておきました.
No.39755 - 2016/10/23(Sun) 00:34:08
☆ Re: 部分空間 / angel
> 大問1.(1) これは普通にvを(x,y,z)に代入して0となるから含むという考えでいいのですか？
はい。この問題は、部分空間となっていることを気にする必要はありません。

(2)
部分空間に属するベクトルは p(2 -3 -1)+q(0 1 3) で表されますから、
　 p(2 -3 -1)+q(0 1 3) = (5 2 3)
となる p,q の組みがあるかどうかで判断できます。フツーにp,qの連立方程式を解いてみても良いですし、
(2 -3 -1) (0 1 3) (5 2 3) が線形従属かどうか、ということで、次の行列の行列式が 0 かどうか、を調べても良いです。

　( 2　0　5)
　(-3　1　2)
　(-1　3　3)

(3) (2)と同じです。
No.39758 - 2016/10/23(Sun) 01:34:45
☆ Re: 部分空間 / angel
大問2

左右それぞれで基底を求めても、それが食い違ったら先に進まないので、先に、

{ ｘ | (2　1　4)ｘ=0 }∩{ ｘ | (5　7　1)ｘ=0 }
= { ｘ | Ｔｘ=０ }

※
Ｔ=(2　1　4)
　 (5　7　1)

と、条件を一つにまとめます。

ここから基底を求めるのは良いでしょうか…?

この行列Ｔに行の基本変形 ( 行を定数倍する、行を入れ替える、ある行の定数倍を他の行に足す ) だけを施して、単位行列のような形を作り出せば、楽に見つけられるようになります。

大問3は、2と同じです。
同じように行列で考えて、行の基本変形の結果、同じ行列に変形できることを確かめましょう。
No.39759 - 2016/10/23(Sun) 01:44:26
☆ Re: 部分空間 / らぐ
ご回答ありがとうございます.
丁寧なおかげで理解ができましたが,大問3で少しわからないことが.

大問2は両方ともxだから一つにまとめることができましたが,大問3ではvとwなので一つにまとめることができません.
どうすればいいのでしょう?
{ x | Ax=0 } とでも置けばいいのでしょうか?
No.39760 - 2016/10/23(Sun) 03:20:03
☆ Re: 部分空間 / らぐ
A=(1 -2 4 5)
(0 3 -7 -7) です.
No.39761 - 2016/10/23(Sun) 03:21:10
☆ Re: 部分空間 / angel
> 大問2は両方ともxだから一つにまとめることができましたが,大問3ではvとwなので一つにまとめることができません

ｘ,ｖ,ｗという文字の違いには特に意味がないことに注意しましょう。
つまり、
　V={ｖ| (なんか行列)ｖ=0 } であろうが、
　V={ｘ| (なんか行列)ｘ=0 } であろうが、
　ｖが別の文字になっていようが、
その集合 ( 部分空間 ) の実態は同じです。

ということで、大問2と同じように
　V∩W={ｘ|Ｔｘ=０}
　Ｔ=(1　-2　 4　 5)
　　　(0　 3　-7　-7)
です。
No.39762 - 2016/10/23(Sun) 07:08:52
☆ Re: 部分空間 / らぐ
ありがとうございます.納得できました.
僕があまり理解できていないので教科書を熟読しました所,だいぶ部分空間についてわかってきました.

最後にもう一問いいですか?
(僕の考え方がいいかどうか)

この問題は大問2と似ていますが少し様子が違います.
V1とV2の表記が違います.しかしこれはある平面を表していますよね.
だから表記を同じにすれば大問2と同じように持っていけるのではないかと考えました.
今回はV1を変形しました.外積を用いてこの二本のベクトルに垂直なベクトルを求めて....といろいろ処理しました.
後は大問2と同じ手順です.

この考え方であっているでしょうか?
No.39774 - 2016/10/23(Sun) 16:22:11
☆ Re: 部分空間 / angel
この問題に関して、間違ってはいないです。

…ただ、線形空間それ自体にはない「垂直」という概念を使っているのと、あとは答えの基底が2次元以上になる場合に応用が利かないところが問題でしょうか。
No.39776 - 2016/10/23(Sun) 16:38:41
☆ Re: 部分空間 / angel
ベクトル・行列のみを使った話にするなら、添付の画像のようになります。

ただ、V1,V2の変形の表現が分かりにくいなら、

　V1 に関して (x,y,z)=p(1,3,3)+q(0,5,2)=(p,3p+5q,3p+2q) のため
　V1∩V2 に関して (x,y,z)=(p,3p+5q,3p+2q), p+2(3p+5q)+3(3p+2q)=0
　⇒ (x,y,z)=p(1,-2,1)

というようなことを考えてる、と思ってください。
No.39777 - 2016/10/23(Sun) 17:26:49
☆ Re: 部分空間 / noname
angel様が殆んど解説されているため，私からは特に申すことはありませんが，一応私からもコメントさせてください．

質問者様の考え方ではR^nを「内積が備わった実ベクトル空間(実計量ベクトル空間)」とみなしており，この場合では何の内積に関するものかが重要なのですが，R^nを「標準的な内積が備わった実の数ベクトル空間(標準的な実計量ベクトル空間)」とみなしているのであれば考え方に関しては特に問題はありません．

一方，R^nを「内積が備わっているとは限らない実ベクトル空間」として捉えているのであれば，質問者様の考え方はangel様も指摘している様にまずいものとなっています(計量という概念があるかどうかわからない空間の中で計量により定まる概念を使っているというまずさがある)．この場合では，angel様が与えた考え方で解答されるとよいかと思います．


※R^nと書かれている場合，それが軽量ベクトル空間のことなのか一般的なベクトル空間のことなのかは，文脈により判断する必要があります．本問の場合はどちらの意味でR^nという記号が使われているのか分かりませんので，いずれにしてもangel様の提示された解法の方が無難かと思います．
No.39779 - 2016/10/23(Sun) 17:46:40
☆ Re: 部分空間 / らぐ
わかりやすい説明とアドバイスありがとうございます.
理解できました!
深くなってくるといろいろ難しいですね.
まだまだ勉強不足です...
No.39782 - 2016/10/23(Sun) 19:41:44