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記事No.39866に関するスレッドです
★ 高2 数学 / 名無し
（1）は微妙ですが、解法の糸口だけでも
（2）は全くわかりません。
No.39866 - 2016/10/26(Wed) 22:03:57
☆ Re: 高2 数学 / IT
(1)
ｆ(x) の増減を考えると、２つのｘの値で極小値を持つためには、 f'(x)=0 が３つの異なる実数解を持つことが必要十分条件であると、分ると思います。

まずは、f'(x)を調べてそのようなｋの範囲を求めてください。
No.39871 - 2016/10/26(Wed) 22:27:07
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
できました。ありがとうございます。
（2）もお願いできますか？
No.39872 - 2016/10/26(Wed) 22:46:04
☆ Re: 高2 数学 / angel
(2)
(1)でkの値を求めましたが、それは忘れます。

代わりに補うものがあります。
それは、α,βに続く、3次方程式 f'(x)=0 の解です。これをγとします。

さてそうすると、α,β,γで解と係数の関係が使え、α,βをγで表すことができます。( 実際にはα+βとαβをγで表せば十分 )
なお、k は使わないので、αβγの条件は見なかったことにします。

で、α,βをγで表せば、2点の中点、これはα,βの式 ( それも対称式 ) ですから、これもγで表すことができます。
で、x座標の式、y座標の式からγを消去すれば、x,yの関係が分かるという寸法です。

最後に。γの範囲も考えなければなりません。
ここで、k は使いませんが、(1) でやったことを思い出します。
f'(x)=0 の解の状況を調べるために、(xの3次式)=k を表すグラフを描くことと思います。で、γというのはf(x)の極大値に対応する解ですから、3解の中で中間に位置するものです。
ということは、添付の図のように、γの範囲が分かるはずです。
これで分かったγの範囲から、問題の中点のx座標の範囲を求めて終わりです。
No.39874 - 2016/10/26(Wed) 23:20:33
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
しかしそれでやって出てきた答えにkが入っており、そのkは（1）で求めた範囲を動くのはわかるのですが、例えば中点がただの点を表す場合この軌跡の方程式は点を表す方程式が出てこないとおかしいのに、k＝1のとき中点は単なる点を表すのですが、出てきた答えに代入したら軌跡を表しているのですが、おかしいですよね？
No.39924 - 2016/10/28(Fri) 00:41:32
☆ Re: 高2 数学 / IT
angelさんのアドバイスに従えば出来ると思います。

f’(x)= 0 の解をα,γ,β(α<γ<β) とします。
解と係数の関係から
α+β+γ=0 ∴α+β=-γ …(ア)
αβ+βγ+γα=-3 ∴αβ+(α+β)γ=αβ-γ^2=-3 ∴αβ=γ^2-3…(イ)
αβγ=k/4…(ウ)

f(α)+f(β)=-3(α^2+β^2)-(3/4)k(α+β)
（ウ）より
=-3(α^2+β^2)-3αβγ(α+β)
以下(ア)（イ）を使えば　γだけの式にできます。
No.39931 - 2016/10/28(Fri) 20:08:21
☆ Re: 高2 数学 / angel
あああ、ごめんなさい。考慮漏れがありました。

f(x)=〜-kx の形なので、(f(α)+f(β))/2 の計算で、k が残るところ、なんとかしないといけないのですね。

ITさんに解説して頂いている通り、方針自体はそのままで良いのですが、αβγ=k/4 を使って ( もしくは f'(γ)=0 を整理したk=4γ^3-12γ でも良いです )、残った k を消してください。
No.39933 - 2016/10/28(Fri) 21:39:23
☆ Re: 高2 数学 / 名無し
答えは出てきたのですが、エックスの定義域がわかりません。-4〜4ですか？明らかにおかしいと思ったのですが、、、
そのままガンマから範囲を求めるとそうなったのですが、
No.39934 - 2016/10/28(Fri) 22:59:23
☆ Re: 高2 数学 / angel
γはNo.39874のグラフで言うと、x座標にあたる数値ですよ。
なので、-1＜γ＜1 です。
No.39937 - 2016/10/29(Sat) 01:21:30
☆ Re: 高2 数学 / angel
-1＜γ＜1 より、軌跡のx座標の範囲は -1/2＜x＜1/2 です。
なお、手元の計算で、軌跡の方程式は、y=24x^4-12x^2-9 となりました。
No.39938 - 2016/10/29(Sat) 01:41:39