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記事No.40027に関するスレッドです
★ 図形と方程式 複素数平面 / ダイキ
2番お願いします
No.40027 - 2016/10/31(Mon) 08:50:34
☆ Re: 図形と方程式 複素数平面 / noname
Pの座標を(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)とし，点Aを点Pを中心に反時計回りにπ/2だけ回転移動させて一致する点をBとします．すると，↑PA＝(a-cosθ,-sinθ)であり，この成分に対応する複素数は(a-cosθ)+i・(-sinθ)であるから，複素平面上においてこの複素数を反時計回りにπ/2だけ回転させて得られる複素数は

(cosπ/2+i・sinπ/2){(a-cosθ)+i・(-sinθ)}＝sinθ+i・(a-cosθ).

よって，xy平面の世界に戻ると，↑PAを反時計回りにπ/2だけ回転移動させた時に得られるベクトル↑PBの成分は

↑PB＝(sinθ,a-cosθ).
∴↑OB＝↑OP+↑PB＝(cosθ+sinθ,a-cosθ+sinθ).

ところで，Bが円C上にあるならば，|↑OB|＝1であるから

|↑OB|^2
＝(cosθ+sinθ)^2+(a-cosθ+sinθ)^2
＝1+2sinθcosθ+a^2+1-2acosθ-2sinθcosθ+2asinθ
＝a^2+2√2asin(θ-π/4)+2
＝1.
∴a^2+2√2asin(θ-π/4)+1＝0.…(*)

ここまでの議論の結果を用いると，次の言い換えを行うことが出来ます：

「問題の条件を満たす様なC上の点Pがただ1つ存在する」
⇔「|↑OB|＝1を満たす様な点PがC上に1つだけしかない」
⇔「θについての方程式(*)の実数解が0≦θ＜2πの範囲にただ1つしかない」

ここから先は，質問者様ご自身で一度お考えください．


※初等幾何的に考える事もできそうですが，制限時間などを考慮すると座標設定をして機械的に処理していった方がある意味解く上でラクかもしれません．
No.40029 - 2016/10/31(Mon) 10:49:17
☆ Re: 図形と方程式 複素数平面 / angel
図形的な観点で解く方法です。

まず、円Cの方程式は |z|=1 です。
さて、点Pの示す複素数を w とするとき、

(1)Pが円C上にある
(2)点Pを中心として〜
　この回転させた点は、w+(a-w)i であり、これも円C上にありますから、
　|w+(a-w)i|=1 この条件を整理してみます。

　|w+(a-w)i|=1
　⇔ |(1-i)w+ai|=1
　⇔ |(1-i)w+ai||1+i|=|1+i|=√2
　⇔ |((1-i)w+ai)(1+i)|=√2
　⇔ |2w-(1-i)a|=√2
　⇔ |w-(1-i)a/2|=√2/2

　つまり、点Pが、(1-i)a/2 を中心とする、半径√2/2の円上にある、ということです。

(1),(2)両方を満たす点Pがただ1つ…ということは、(1),(2)に現れる両円が丁度接するということに他なりません。
※点Pが丁度その接点であり、2円の唯一の共有点

内接・外接の2パターンがあることに注意し、接する条件は |(1-i)a/2|=1±√2/2 です。
No.40044 - 2016/10/31(Mon) 21:54:13