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記事No.40032に関するスレッドです
★
とある問題について
/ 数学主
引用
これはどのようにやるのでしょうか。教えて下さいお願いします。
No.40032 - 2016/10/31(Mon) 17:20:40
☆
Re: とある問題について
/ ペンギン
引用
kが1以上のときにp(x)=x^k
に対して、結果が0になることを示します。
f_nが[1/(3n),1/n]以外で0なので、積分区間は[1/(3n),1/n]のみで考えることが可能です。
積分区間では、p(x)<1/n^kが成り立つ
ので、
問題の式の絶対値を評価すると、
問題の式の絶対値<1/n^k→0です。
よって、p(0)のみが残ります。
No.40033 - 2016/10/31(Mon) 17:52:24
☆
Re: とある問題について
/ X
引用
ガリガリ計算すると以下のようになります。
n→∞を考えるので
0＜1/n＜1
としても問題ありません。
このとき自然数kに対し
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=∫[1/(3n)→1/n](x^k)a[n](x-1/n)(x-1/(3n))dx
=a[n]∫[1/(3n)→1/n]{x^(k+2)-(4/(3n))x^(k+1)+(1/(3n^2))x^k}dx
=a[n][(1/(k+3))x^(k+3)-(4/(3n(k+2)))x^(k+2)+(1/(3(n^2)(k+1)))x^(k+1)][1/(3n)→1/n]
=a[n]{(1/(k+3)){1/n^(k+3)-1/(3n)^(k+3)}-(4/(3(k+2))){1/n^(k+3)-3/(3n)(k+3)}+(1/(3(k+1))){1/(n^(k+3)-9/(3n)^(k+3)}}
=a[n]{{1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}{1/n^(k+3)}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)}{1/(3n)^(k+3)}}
={a[n]/n^(k+3)}{{1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)}
∴A[k]={1/(k+3)-4/(3(k+2))+1/(3(k+1))}-{1/(k+3)-4/(k+2)+3/(k+1)
と置くと
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=A[k]{a[n]/n^(k+3)} (A)
一方、f[n](x)の定義により
a[n]∫[1/(3n)→1/n](x-1/n)(x-1/(3n))dx=1
で
∫[1/(3n)→1/n](x-1/n)(x-1/(3n))dx=[{(1/2)(x-1/n)^2}(x-1/(3n))][1/(3n)→1/n]-∫[1/(3n)→1/n]{(1/2)(x-1/n)^2}dx
=(1/6)(1/(3n)-1/n)^3
=-(1/6)(2/(3n))^3
=-4/(81n^3)
∴a[n]=-(81/4)n^3 (B)
(A)(B)より
∫[0→1](x^k)f[n](x)dx=-(81/4)A[k]/n^k (C)
更に条件より
p(x)=p(0)+Σ[k=1〜l]b[k]x^k
(但し、lは自然数、{b[k]}は実数の定数の列)
と置くことができますので
lim[n→∞]∫[0→1]p(x)f[n](x)dx=lim[n→∞]{p(0)∫[0→1]f[n](x)dx+Σ[k=1〜l]b[k]∫[0→1](x^k)f[n](x)dx}
これに(C)とf[n](x)での定義である
∫[0→1]f[n](x)dx=1
を代入して
lim[n→∞]∫[0→1]p(x)f[n](x)dx=lim[n→∞]{p(0)-(81/4)Σ[k=1〜l]b[k]A[k]/n^k}
=p(0)
No.40034 - 2016/10/31(Mon) 18:00:32
