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記事No.40103に関するスレッドです
★ (No Subject) / マーク
画像の(3)の問題の解き方を教えて下さい。出来れば答えも教えて下さると助かります。お願いします。
No.40103 - 2016/11/04(Fri) 16:59:21
☆ Re: / X
x=2cosθ
と置きましょう。
No.40104 - 2016/11/04(Fri) 18:39:32
☆ Re: / angel
答えを求めるだけであれば、図のグラフの色を塗った部分の面積を表していることに着目し、扇形・三角形の面積を計算して足し合わせても良いです。
※答え合わせにどうぞ
No.40105 - 2016/11/04(Fri) 19:32:37
☆ Re: / マーク
なぜ、x=2cosθ
と置くのですか？理由を教えて下さい。
No.40106 - 2016/11/04(Fri) 20:27:50
☆ Re: / マーク
もしかして、cosとsin逆じゃないですか？
No.40107 - 2016/11/04(Fri) 20:30:58
☆ Re: / angel
> もしかして、cosとsin逆じゃないですか？
そういうのは自分でやってみてある程度形にしてから言うものです。失礼です。

…結論から言えば、cos,sinどちらでもできます。「逆」じゃありません。どちらか一方じゃなきゃいけないなんてことはないんです。

どちらの場合でもやり方はほとんど変わりませんから、まずは計算してみるのが良いと思います。
No.40108 - 2016/11/04(Fri) 22:11:51
☆ Re: / X
>>マークさんへ
私がご質問の問題を見たとき、まず考えたのは
angelさんが既に描かれている図です。
この図において
x=2cosθ
と置くと、極座標の考え方により定積分を行う
θの値の範囲が容易に分かるからです。
No.40110 - 2016/11/05(Sat) 05:55:20
☆ 置換積分では変数の動く範囲に注意 / 黄桃
>なぜ、x=2cosθ

正確には、
x=2cosθ（ただし、0≦θ≦π)
とおく、です。
θがこの範囲を動く時 sinθ≧0 なので、√(4-4cos^2θ)=2sinθとなり、間違えにくくなります。
置換積分する場合は、変換した変数の動く範囲に注意しましょう。

なお、
x=2sinθ
と置くのなら、θの範囲は
π/2≦θ≦3π/2　...(A)
や
-π/2≦θ≦π/2 ...(B)
としなければいけません。
そして、(A)の場合は、cosθ≦0, (B)の場合はcosθ≧0 ですから、√(1-sin^2θ)の答が変わって来ます。
特に前者の場合はうっかり√(1-sin^2θ)=cosθとしやすいので注意しましょう。

＃ここで符号を間違えて、積分でも符号を間違えると元に戻って気づかれずに正解になることもありますが。

＃＃練習問題(2)を理解していれば、こうした疑問は解決されているはずです。
No.40116 - 2016/11/05(Sat) 11:34:25
☆ Re: / マーク
ありがとうございました_(._.)_
No.40123 - 2016/11/05(Sat) 19:13:04