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記事No.40145に関するスレッドです
★ (No Subject) / 佐藤
座標平面において曲線Cy＝sinx（0＜x＜π/2） 上の点P（a,sina）におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする。線分PQを直径とする円が、x軸と交わるQ以外の点をRとする。このとき三角形PQRの面積S（a）を求めよ。次にaが動くとき、S（a）の最大値を求めよ。
この問題の解き方を教えて下さい。
No.40142 - 2016/11/06(Sun) 18:59:53
☆ Re: / X
前半)
y=sinx
より
y'=cosx
∴点PにおけるCの法線の方程式は
y=(-1/cosa)(x-a)+sina
∴点Qのx座標について
0=(-1/cosa)(x-a)+sina
これより
x=a+sinacosa
∴Q(a+sinacosa,0)
円周角により、点Rが点Pからx軸に下ろした
垂線の足になっていることに注意すると
R(a,0)
以上から
S(a)=(1/2)QR・PR
=(1/2){(a+sinacosa)-a}sina
=(1/2){(sina)^2}cosa

後半)
S(a)をaについて微分をして
0＜a＜π/2
におけるS(a)についての増減表
を書くのが定石です。

只、この問題の場合は
S(a)=(1/2){1-(cosa)^2}cosa
となりますので
t=cosa
と置いてS(a)をtの三次関数
として扱い、
0＜t＜1
におけるS(a)の増減表を書く
という処理をした方が多少
簡単にできます。
No.40143 - 2016/11/06(Sun) 20:47:34
☆ Re: / 関数電卓
ご参考まで
No.40144 - 2016/11/06(Sun) 20:59:56
☆ Re: / 関数電卓
上に貼ったつもりでしたが…
No.40145 - 2016/11/06(Sun) 21:01:19
☆ Re: / 関数電卓
すみません。上の図で，Q と R が逆でした。
No.40147 - 2016/11/06(Sun) 21:52:05