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記事No.40150に関するスレッドです
★ 3と5お願いします！ / ゆう
3の(2)と5をお願いします！
No.40150 - 2016/11/07(Mon) 00:40:26
☆ Re: 3と5お願いします！ / noname
とりあえず，５に関するヒントを与えておきます．


[ヒント]
(1)0≦x≦1ではx^nとsin(πx)はともに非負値をとるから，これらの積もこのxの範囲においては非負値をとる．ゆえに，I_[n]≧0である．特に，x^nsin(πx)は0≦x≦1では恒等的に0というわけではないから，I_[n]＞0である．一方，0≦x≦1では0≦sin(πx)≦1であるから，I_n≦∫_[0,1]x^ndxが成り立つ．以上により示すべき不等式を得る．
(2)I_[n+2]について，xの冪の部分を微分するもの，三角関数を積分するものと捉えて部分積分法を行えばよい．なお，計算結果は画像の右側に書かれている数式で恐らく問題ない．
(3)(1),(2)の結果を用いると次の不等式

n^2π/((n+1)(n+2))-n^2π^2/((n+1)(n+2)(n+3))＜n^2I_[n]＜π

が得られる．この不等式の最右辺については次の様に考えればよい．(2)の結果より

n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}.

ここで，(1)よりI_[n]＞0(n≧1)ゆえ，

(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]＞0.
∴n^2I_[n]＝π-{(2n+1)I_[n]+π^2I_[n+2]}＜π.

一方，不等式の最左辺に関しては一度ご自身で考えてもらいたい．
No.40155 - 2016/11/07(Mon) 02:53:38
☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう
ありがたいです 理解できました

3の(2)はどうすればいいんですかね
No.40157 - 2016/11/07(Mon) 11:24:32
☆ Re: 3と5お願いします！ / angel
3(2)
ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
つまり、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)

ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
これの値も分かりますね。
ところがこの式、分母・分子が色々消えて
　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
となります。

ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。

なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。
No.40174 - 2016/11/07(Mon) 21:42:31
☆ Re: 3と5お願いします！ / ゆう
> 3(2)
> ありがちですが、3(1)の結果がヒントになっています。
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=(一定)
> ということは、これはθを2θ,4θ,8θ,…,2^(n-1)・θに取り換えても同じことですよね。
> つまり、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)=f(2θ)g(2θ)/g(4θ)=…=f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)=(一定)
>
> ということは、これらの各項をかけ合わせれば…? すなわち、
> 　f(θ)g(θ)/g(2θ)・f(2θ)g(2θ)/g(4θ)・…・f(2^(n-1)・θ)g(2^(n-1)・θ)/g(2^n・θ)
> これの値も分かりますね。
> ところがこの式、分母・分子が色々消えて
> 　f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)g(θ)/g(2^n・θ)
> となります。
>
> ということは、f(θ)f(2θ)…f(2^(n-1)・θ)の正負は、g(θ)/g(2^n・θ)の正負と丁度1対1に対応づく、ということです。
>
> なお、**注意事項**としては、この話はあくまで、各項の分母が0でないことが前提です。
> つまり、g(2θ),g(4θ),…,g(2^n・θ) が全て0でない時です。ここは除外しましょう。
> といっても、どれかが0になるとしても1点ずつですから、「区間の幅」には影響しません。あくまで解答を書く上で、ちゃんと 0 になるθを調べて、断りを入れておきましょうね、ということです。

この先がわかりません
和積を使うことにより、sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました
No.40182 - 2016/11/07(Mon) 23:38:34
☆ Re: 3と5お願いします！ / angel
> sin(3・2^(n-1)θ）sin(2^(n-1)θ)<0となりました
良いと思います。

では、一旦2^(n-1)θの部分を置き換えて…。
φ=2^(n-1)θとしますか。
そうすると、sin(3φ)sin(φ)＜0 を考えることになります。

0≦φ＜2π の範囲で考えると、1/3・π＜φ＜2/3・π, 4/3・π＜φ＜5/3・π ですから、
φの値2π毎に繰り返すことを考えると、実は
　(k+1/3)π＜φ＜(k+2/3)π　( kは整数 )
と、π周期にまとめることができます。

ここで、φ=2^(n-1)θに立ち戻ります。

n=1 の時はφ=θで、θの範囲からすると、1/3・π＜θ＜1/2・π が条件を満たすθです。これだけちょっと特殊なので、別に計算しておきます。

n≧2 の時は、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π
一方で、0＜θ＜π/2 ですから 0＜2^(n-1)θ＜2^(n-2)・π
ということは、kの範囲は 0≦k＜2^(n-2)
つまり、(k+1/3)π＜2^(n-1)θ＜(k+2/3)π という、各幅 π/(3・2^(n-1)) の区間が、2^(n-2)個できることになります。
No.40189 - 2016/11/08(Tue) 00:21:19