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記事No.40153に関するスレッドです
★ 確率 / ゆう
お願いします！
No.40153 - 2016/11/07(Mon) 01:18:34
☆ Re: 確率 / noname
とりあえず，ヒントを与えておきます．


[ヒント]
(1)X_1,X_2,X_3の値の出方を考察し，考察した結果をもとに説明を行えばよい．なお，答えは紙に書かれている通りである．
(2)X_n＝1である確率をp_n,X_n＝2である確率をq_n,X_n＝4である確率をr_nとすると，次の漸化式を得る．

p_[n+1]＝1/2・p_[n]+1/2・r_[n],
q_[n+1]＝1/2・p_[n]+1/2・r_[n],
r_[n+1]＝q_[n].

また，簡単な議論によりp_[n]＝q_[n](n≧1)が導かれる．これらを用いると

p_[n+2]+1/2・p_[n+1]＝p_[n+1]+1/2・p_[n]

が得られ，これを利用するとp_[n+1],p_[n]に関する関係式(確率の列{p_[n]}に関する隣接二項間漸化式)が得られる．この関係式を使えばp_[n]の式が得られ，これよりn＞1の場合のr_[n]の式が得られる．なお，n＞1の時のr_[n]の式は紙に書かれている通りである．n＝1の時はX_1＝1,2ゆえにr_1＝0である．
(3)求める確率を計算するために，X_[2n+1]＝4である確率r_[2n+1]とX_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率を求めればよい．r_[2n+1]の式については(2)の結果を利用すればよい．他方の確率に関しては，X_[n]＝2の時にX_[n+1]＝4となることに注意すれば，

(X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]

が成り立つ．これを利用すればよい．
No.40156 - 2016/11/07(Mon) 04:19:42
☆ Re: 確率 / ゆう
X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]
これの最後がわかりません
X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n]＝２となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]・q_[2n]
ではないのですか？？
No.40178 - 2016/11/07(Mon) 23:19:05
☆ Re: 確率 / noname
>X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n]＝２となる確率)
＝q_[n]・r_[n+1]・q_[2n]
ではないのですか？？


最後の等号が正しくないです．最右辺の数式は正しくはq_[n]・q_[n]ではないですか？

また，r_[n+1]＝q_[n]より質問者様の提示された等式と私が提示した等式は本質的には同じです．
No.40180 - 2016/11/07(Mon) 23:24:57
☆ Re: 確率 / noname
一部誤植がみられましたので，(3)の解説を改めて与えておきます．失礼致しました．


[(3)の解説(訂正版)]
求める確率を計算するために，X_[2n+1]＝4である確率r_[2n+1]とX_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率を求めればよい．r_[2n+1]の式については(2)の結果を利用すればよい．他方の確率に関しては，X_[n]＝2の時にX_[n+1]＝4となることに注意すれば，

(X_[n]＝2かつX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n+1]＝4の時にX_[2n+1]＝4となる確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)
＝q_[n]・r_[n]

が成り立つ．これを利用すればよい．
________________________________________________________________________

※一つ前のコメントで

>最後の等号が正しくないです．最右辺の数式は正しくはq_[n]・q_[n]ではないですか？

と申しましたが，正しくは「q_[n]・q_[n-1]ではないか？」でした．失礼致しました．
No.40181 - 2016/11/07(Mon) 23:35:49
☆ Re: 確率 / ゆう
＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)

この変形がわかりません
No.40183 - 2016/11/07(Mon) 23:42:12
☆ Re: 確率 / noname
ある秒に画面に現れる数字が1の時，次の秒に画面に現れる数字は1か2のいずれかです．同様に，ある秒に画面に現れる数字が4の時，次の秒に画面に現れる数字は1か2です．このことに注意すると，初期時に画面に表れている数字が4であろうと1であろうと，X_n＝4となる時の樹形図はどちらの初期の場合においても形は同じです(特に初期時の数字が1か4かの違いしかない)．よって，

>＝(X_[n]＝2となる確率)・(初期時に画面に表れている数が4であり，試行をn回行った結果画面に現れる数字が4である確率)
＝(X_[n]＝2となる確率)・(X_[n]＝4となる確率)

が言えます．もし分からなければ，例えばX_5＝4となる場合の樹形図を初期時の数字が1の時と4の時の両方において考えてみるとよいでしょう．
No.40185 - 2016/11/07(Mon) 23:54:23
☆ Re: 確率 / ゆう
周期性には気づけました！
ただ、そこから確率が等しいという発想には持って行くことができませんでした。。。
No.40186 - 2016/11/07(Mon) 23:58:46
☆ Re: 確率 / noname
周期性というよりは寧ろ「ある秒から次の秒へ時間が変わる時の数字の変わり方」についてでしょうか．この手の問題は，(n+1)秒から先の試行は初期時からn秒までの試行の結果に依存しないということに気付けるかどうかがカギです．依存しないということは，(n+1)秒から先の試行については(n+1)秒の時を初期時だと思って考えてもよいということになります．
No.40188 - 2016/11/08(Tue) 00:09:34