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記事No.40195に関するスレッドです
★ (No Subject) / ゆう
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No.40195 - 2016/11/08(Tue) 16:31:43
☆ Re: / angel
(1)
順に計算しましょう

(2)
小文字のエルだと見辛いので、大文字Lに替えて書きます。
まず、f の値の上限を見積もります。
a1がL桁ということは、全て 9 の時に f が最大になります。
つまり、f(a1)≦9L で a2≦81L^2
後は、81L^2 が L-1桁以下、つまり 81L^2＜10^(L-1) を示せば十分です。これは、L=5開始の数学的帰納法で行えばよいです。
不等式の右辺が10倍ずつ増えていくのに対し、左辺は
　(L+1)^2/L^2=1+(2L+1)/L^2
で、2倍以下でしか増えないことが使えます。

(3)
(2)の結果を利用して、時々の上限を順に見積もっていきます。
加えて、a1が9の倍数であることから、帰納的に、桁の和f(an)も、その平方a[n+1]も、全て9の倍数になることに注意します。

* an が 5桁以上 … 先の項に進めば、いずれ4桁以下に減る
* 4桁以下で f(an)の最大 … an=9999 の時で 36、よって a[n+1]≦36^2=1296
* a[n+1]≦1296 で f(a[n+1])の最大値 … 3桁でのa[n+1]=999が上限で f(a[n+1])≦27、a[n+2]≦27^2=729
* 次同じようにして a[n+3]≦324
* a[n+3]=f(a[n+2])^2 に対して、f は今回9の倍数なので、a[n+3]は81の倍数、かつ平方数。324以下では81,324のみが該当する。
　そうすると、いずれにしても f(a[n+3])=9、a[n+4]=81
　以降ずっと、数列の値は81
No.40205 - 2016/11/08(Tue) 21:16:35