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記事No.40197に関するスレッドです
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積分
/ ゆう
引用
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No.40197 - 2016/11/08(Tue) 16:32:45
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Re: 積分
/ noname
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とりあえず，(1)と(2)の前半のヒントだけ与えておきます．
[ヒント]
(1)：前半の不等式の証明については，微分法を用いるか或いはπ/2・sin(x)のグラフの凸性を用いればよい．後半の極限の問いについては，前半の結果より得られる不等式
0≦xcos^n(x)≦πsin(x)cos^n(x)（0≦x≦π/2）
の辺々をx＝0からx＝π/2まで積分してI_[n]に関する不等式をつくることが出来れば，後ははさみうちの原理を用いるのみである．
(2)の前半：a_[n+2]＝a_[n]-∫_[0,π/2]cos^n(x)sin(x)・sin(x)dxの様に変形し，この等式の第二項について部分積分法を実行すればよい．
No.40198 - 2016/11/08(Tue) 17:56:50
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Re: 積分
/ noname
引用
(2)の後半と(3)のヒントも与えておきます．
[ヒントの続き]
(2)の後半:b_[n]＝(n+1)a_[n+1]a_[n]とおくと，(2)の前半の問いの結果より数列{b_[n]}に関する漸化式が得られる．これより数列{b_[n]}の一般項を求めれば示すべき第一の等式を得る．第二の不等式に関しては，0≦cos^{n+1}(x)≦cos^n(x)(0≦x≦π/2)よりa_[n+1]≦a_[n]が成立し，これと第一の等式を用いれば第二の不等式を導出することが出来る．
(3):(1)の極限を求めるのに用いたI_[n]に関する不等式と(2)の結果を用いると(I_[n]/a_[n])^2に関する不等式が得られる．これとはさみうちの原理を用いれば(I_[n]/a_[n])^2の極限，特にI_[n]/a_[n]の極限の値が分かる．一方，J_[n]/a_[n]の極限については
J_[n]
＝∫_[0,π/2]xsin^n(x)dx
＝∫_[π/2,0](π/2-t)sin^n(π/2-t)・(-1)・dt
＝π/2a_[n]-I_[n]
とI_[n]/a_[n]の極限の値を用いれば，J_[n]/a_[n]の極限の値を求めることが出来る．
No.40208 - 2016/11/08(Tue) 23:30:42
