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記事No.40237に関するスレッドです
★ (No Subject) / 名無し
画像これで大丈夫ですかね？
微分した後がわかりません
No.40237 - 2016/11/10(Thu) 18:46:09
☆ Re: / noname
その後は，0＜a＜π^2/2,a≧π^2/2の2つに場合分けして考えればよいです．
No.40240 - 2016/11/10(Thu) 22:03:01
☆ Re: / noname
導関数についてですが，f'だけでなくf''まで計算しておくとよいです．その後はf''の符号変化よりf'について，f'の符号変化よりfについて順番に考えればよいと思います．
No.40241 - 2016/11/10(Thu) 22:04:10
☆ Re: / noname
一部の解説だけ与えておきますので，他の部分についてはご自身で一度お考えください．


[一部の解説]
f'(x),f''(x)を計算すると，

f'(x)＝a-2ax-πcos(πx),
f''(x)＝-2a+π^2sin(πx)＝π^2(sin(πx)-2a/π^2).

以下では，0＜a＜π^2/2,a≧π^2/2の2つで場合分けするが，ここでは0＜a＜π^2/2の場合の解説のみを行う．

0＜a＜π^2/2の時，sin(πx)＝2a/π^2,0＜x＜π/2を満たす実数xが存在する．これをαとすると，

・0＜x＜αの時，f''(x)＜0である
・α＜x＜π/2の時，f''(x)＞0である

であるから，

・f'(x)は0＜x≦αの時に単調減少する
・f'(x)はα≦x＜π/2の時に単調増加する

が言える．ここで，f'(0)＝a-π＞0,f'(1/2)＝0よりa-π＞0，すなわち，a＞πが必要である．この時，f'(α)＜0である．実際，f'(α)≧0ならばf'(1/2)＞0であるが，実際にはf'(1/2)＝0であるから矛盾が生じる．ゆえに，f'(α)＜0である．この時，方程式f'(x)＝0を満たす実数xが0＜x＜αの範囲にただ1つ存在する．これをβとする．この時，

・0＜x＜βでは，f'(x)＞0である
・β＜x＜π/2では，f'(x)＜0である

であるから，

・f(x)は0＜x≦βで単調に増加する
・f(x)はβ≦x＜π/2で単調に減少する

が言えて，f(x)はx＝βで極大かつ最大となることが分かる．


※α,βの存在については，厳密には中間値の定理を用いて説明すべきでしょうか．また，α,βの一意性(ただ1つだけしかないという性質)を示すにはf''やf'の単調性(単調増加性や単調減少性など)を用いるとよいです．
No.40245 - 2016/11/10(Thu) 23:26:08