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記事No.40258に関するスレッドです
★ 行列の対角化 / らぐ
この行列を対角化するために固有空間の基底を求めているのですが,固有値がn-1のときの基底が求められません.
どうすらばよいですか？
No.40252 - 2016/11/11(Fri) 01:23:20
☆ Re: 行列の対角化 / angel
1次元なので、「全要素1」のベクトルで十分かと。
No.40253 - 2016/11/11(Fri) 01:51:01
☆ Re: 行列の対角化 / noname
A-(n-1)Eに行基本変形を施すことにより固有値(n-1)に対する固有空間の基底について調べたいのであれば，添付した画像をご参考ください．
No.40258 - 2016/11/11(Fri) 15:56:50
☆ Re: 行列の対角化 / noname
問題を解くのに慣れてくると，angel様が仰る様に線形部分空間の次元に着目して素早く解くという方法もあります．Aの固有値-1,n-1に対する固有空間をW_[-1],W_[n-1]とすると，次元公式より

dim(W_[-1]+W_[n-1])
＝dim(W_[-1])+dim(W_[n-1])-dim(W_[-1]∩W_[n-1])
＝(n-1)+dim(W_[n-1])-0
＝(n-1)+dim(W_[n-1])

であり，これとdim(W_[-1]+W_[n-1])≦(全体空間の次元)＝nよりdim(W_[n-1])≦1，すなわち，dim(W_[n-1])＝0,1が得られます．ところで，W_[n-1]は次元が1以上の線形部分空間なのでW_[n-1]は1次元線形部分空間であることが分かります．そして，e_[1]+e_[2]+…+e_[n]はW_[n-1]の元の1つなので，このベクトルを基底の1つとして選んでよいということになります(1次元線形部分空間の基底はその空間に含まれる非零なベクトルであるから)．
No.40260 - 2016/11/11(Fri) 16:04:22
☆ Re: 行列の対角化 / らぐ
なかなか難しいですが,何とか納得できました.
ありがとうございます.
No.40280 - 2016/11/12(Sat) 03:24:34