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No.40311 - 2016/11/12(Sat) 21:25:31
| ☆ Re: / noname | | | ヒントを与えておきますので，一度お考えください．
[ヒント]
(1)f(x)＝(x+1)/(x^2+1)とおき，第2次導関数f''(x)を計算せよ．その後にf''(x)＝0の実数解を求め，全部で3個の異なる実数解を求めることが出来れば，f(x)の変曲点の個数が3であることが言える．また，後半の問いについては3個のf(x)の変曲点のうち2個を適当に選び，これらを通る直線の式を求め，その直線が残りの1個のf(x)の変曲点を通ることを確認すればよい．
(2)f''(x)＝0の実数解をα,β,γ(α＜β＜γ)とする．まずは曲線Cと直線ℓの概形をxy平面上に描き，Cとℓで囲まれる部分のうちℓに対して下側にあるものがどの様な領域であるかを確認せよ．その次に，ℓの式がy＝ax+b(a,bは実数)である時，この領域の面積は定積分
∫_[α,β]{(ax+b)-(x+1)/(x^2+1)}dx
＝a∫_[α,β]xdx+b∫_[α,β]dx-∫_[α,β]x/(x^2+1)dx-∫_[α,β]dx/(x^2+1)
により与えられることに注意し，これを計算すればよい．なお，この等式の右辺の第4項の式については，x＝tanθ(-π/2＜θ＜π/2)により変数変換すると，
∫_[α,β]dx/(x^2+1)＝∫_[θ_1,θ_2]dθ＝θ_2-θ_1
(θ_1,θ_2はtanθ_1＝α,tanθ_2＝β,-π/2＜θ_1＜π/2,-π/2＜θ_2＜π/2を満たす実数)
となるが，この値を求めるにはtan(θ_2-θ_1)の値を求めることにより考えればよい．これを計算する際にtanθ_1＝α,tanθ_2＝βを用いるとよい．
※a,b,α,β,γについては(1)で計算して求めた結果を当てはめてください．
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No.40313 - 2016/11/13(Sun) 00:08:30 |
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