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No.40312 - 2016/11/12(Sat) 21:25:49
| ☆ Re: / X | | | 条件から
A(0,0),B(3,0),C(0,4)
と置くことができます。
このとき円O[1],O[2]の中心を
D,Eをすると
D(x,x)
であり、又
E(a,y)
と置くことができます。
このとき
DE=x+y
となりますので
(x-a)^2+(x-y)^2=(x+y)^2 (A)
又、直線BCの方程式は
y=-4x/3+4
となりますので、直線BC
と点Eとの距離について
|4a/3+y-4|/√{(4/3)^2+1}=y (B)
ここで点Eは直線BCに関して
原点の側にありますので
(B)の絶対値を外すと
-(4a/3+y-4)/√{(4/3)^2+1}=y
∴y=(3-a)/2 (B)'
一方(A)より
(x-a)^2=4xy
(B)'を代入すると
(x-a)^2=2x(3-a) (C)
x^2-6x+a^2=0 (C)'
ここで(C)より
2x(3-a)≧0かつx＞0
∴a≦3
∴x=3-√(9-a^2)
よって
x+y=3-√(9-a^2)+(3-a)/2 (D)
ここで△ABCの内接円の半径を
rとすると、△ABCの面積について
(1/2)r(3+4+5)=(1/2)・3・4 (E)
また
(O[2]が△ABCの内接円のときのO[1]の半径)≦x≦r
(O[1]が△ABCの内接円のときのO[2]の半径)≦y≦r
ですので
(3-2√2)r≦x≦r (F)
r{{√{(3-r)^2+r^2}-r}/(3-r)}^2≦y≦r (G)
(E)より
r=1 (E)'
(E)'(B)'により(G)は
(3-√5)/2≦(3-a)/2≦1
∴1≦a≦√5 (G)'
一方(F)は
3-2√2≦x≦1 (F)'
で(C)'より
a^2=-x^2+6x (C)"
∴横軸にx、縦軸にa^2を取った
(C)"のグラフを(F)の範囲で考えることにより
-(3-2√2)^2+6(3-2√2)≦a^2≦5
1≦a^2≦5
∴-√5≦a≦-1,1≦a≦√5 (F)"
(F)"(G)"より
1≦a≦√5
そこで
f(a)=3-√(9-a^2)+(3-a)/2
と置き、1≦a≦√5における
f(a)の増減表を書くと
f(3/√5)≦f(a)≦f(√5)
つまり
(9-3√5)/2≦f(a)≦(5-√5)/2
となりますので
(9-3√5)/2≦x+y≦(5-√5)/2
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No.40318 - 2016/11/13(Sun) 09:07:13 |
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