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記事No.40371に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ 大輝
引用
2、3、4お願いします！！
No.40371 - 2016/11/16(Wed) 16:58:40
☆
Re:
/ X
引用
2
x^2+y^2=r^2 (A)
y=x^2-3 (B)
とします。
(1)
(A)(B)の交点のy座標について
(y+3)+y^2=r^2
∴y^2+y+3-r^2=0 (C)
条件から(C)が異なる二つの実数解を
持つので、その解をα、β(α＜β)
とし、又、解の判別式をDとすると
D=1-4(3-r^2)＞0 (D)
であり、解と係数の関係から
α+β=-1 (E)
αβ=3-r^2 (F)
更に
P(√(α+3),α),Q(√(β+3),β) (G)
ここで∠POQ=90°により
↑OP・↑OQ=0
∴(G)により
√{(α+3)(β+3)}+αβ=0 (H)
(H)から(E)(F)を用いてα、βを消去し
rの方程式を導き、解きます。
但し(D)の解であるrの値の範囲に
注意しましょう。
(2)
(1)のα、βを使うと、求める面積をSとして
S=∫[α→β]{√(1-y^2)-√(y+3)}dy
=∫[α→β]{√(1-y^2)}dy-∫[α→β]{√(y+3)}dy (I)
α、βの値は(1)の結果を(C)に代入した
二次方程式を解いて得られます。
(I)についてですが
第一項はy=cosθと置きましょう。
第二項はこのままでも積分できますが
分かりにくければy+3=tと置きましょう。
No.40373 - 2016/11/16(Wed) 18:21:04
☆
Re:
/ X
引用
4
条件から
S[1]=S[2]
OA=OB
ですので、辺OA,OBを平行四辺形OADC,OBECの底辺
と見ることにより
平行四辺形OADC≡平行四辺形OBEC
よって題意を満たす条件の候補として
次の二つが挙げられます。
(i)↑OC・↑OA=↑OC・↑OB
(ii)↑OC・↑OA=↑OC・↑BO
さて、このとき
∠AOC=θ
と置くと
S[1]=S[2]=OC・OAsinθ=sinθ
(i)のとき
又、このときの図を描くと
↑OC⊥↑AB
となりますので
S[3]=OC・AB=√3
∴S[1]:S[3]=1:√2
により
sinθ:√3=1:√2
これより
sinθ=√(3/2)＞1
となり不適。
(ii)のとき
∠OAB=t
とすると
S[3]=AB・OCsin(π-θ-t)
=√3sin(θ+t)
∴
∴S[1]:S[3]=1:√2
により
sinθ:(√3)sin(θ+t)=1:√2
これより
(√2)sinθ=(√3)sin(θ+t) (A)
ここで△OABがOA=OBの二等辺三角形
ですので
cost=(AB/2)/OA=(√3)/2
∴t=π/6
これを(A)に代入して
(√2)sinθ=(√3)sin(θ+π/6)
(√2)sinθ=(3/2)sinθ+((√3)/2)cosθ
(2√2-3)sinθ=(√3)cosθ
θ=π/2はこの方程式を満たさないので
cosθ≠0
∴tanθ=(√3)/(2√2-3)
=-(√3)(2√2+3)
=-(2√6+3√3) (B)
後はここからsinθ,cosθの値を求めていきます。
(但し(B)より
π/2＜θ＜π
となることに注意。)
No.40376 - 2016/11/16(Wed) 19:04:21
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Re:
/ 大輝
引用
３は漸化式で解けますよね？？
No.40381 - 2016/11/16(Wed) 21:37:48
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Re:
/ angel
引用
> ３は漸化式で解けますよね？？
まあ、そうですね。
( というより、そうでないとキツイ )
漸化式の目星はついてますか?
No.40383 - 2016/11/16(Wed) 21:49:24
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Re:
/ 大輝
引用
ｎ回目で取り出した赤玉が奇数回目である確率と偶数回目である確率をそれぞれp[n],q[n]としたとき
p[n]+q[n]=2/5かつq[n+1]=2/5p[n]ですか？
No.40395 - 2016/11/17(Thu) 22:09:24
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Re:
/ angel
引用
直前に出たのが白であることも考慮しなければなりませんから、「n回目に奇数個めの赤玉が出る」で直接考える前に、
「n回目が終わった時点で、それまで出た赤玉の総数が偶数」を間に挟みます。これを例えば y[n] とします。
なお、今後の事を考えて n≧0 で、としておきます。y[0]=1 とできますから ( 1回もやってなければ、確実に赤玉0個で偶数 )、n≧0 でも問題はありません。
で、赤玉の総数が偶数ということは、
* 今まで偶数で、白が出たから偶数のまま変わらず
* 今まで奇数で、赤が出たから偶数になった
のどちらかですから、
y[n+1]=3/5・y[n] + 2/5・(1-y[n])
これで y[n] が計算できます。
で、本題の「n回目が奇数個めの赤玉」( x[n]とします ) は、「直前まで赤玉の総数が偶数、n回目に赤玉」ということですから、
x[n]=2/5・y[n-1] ( n≧1 )
です。y[n]の範囲を n≧0 にしてますから、初項を分けて考える必要もありません。
No.40418 - 2016/11/19(Sat) 08:15:23
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Re:
/ 大輝
引用
4の(ii)の場合の図がわかりませゆ
No.40427 - 2016/11/19(Sat) 17:45:53
