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記事No.40436に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ ゆう
引用
4,5,6
お願いします！
No.40436 - 2016/11/20(Sun) 14:21:23
☆
問4
/ angel
引用
問4.
答えは n=3 のみです。
まずΣを計算して、条件は「2^(n-1)・(2^n+1) が平方数」と同値と分かります。
そのため、2の素因数に着目すると、2^n+1 が奇数のため、2^(n-1) で2の素因数が偶数個、すなわち n が奇数。
同時に、2^n+1 が平方数です。
2^n+1 が平方数かつ奇数なので、(2k+1)^2 と置くと、
2^n+1 = (2k+1)^2
⇔ 2^n+1 = 4k(k+1)+1
⇔ 2^(n-2) = k(k+1)
左辺は素因数を2以外に含まない点、右辺の項 k, (k+1) はどちらかが奇数であることから、その奇数の項は 1 であることが必要です。
k+1=1 では k(k+1) の値が 0 になって不適なので、k=1、この時 n=3 です。( これはちゃんと「nが奇数」も満たしています )
No.40441 - 2016/11/20(Sun) 16:52:02
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Re:
/ ゆう
引用
ありがたいです
5、6もお願いできますか？
No.40442 - 2016/11/20(Sun) 17:42:28
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問5
/ angel
引用
問5.
※小文字エルは見辛いので、大文字エルで代用します
(x,y)を極座標表現すると、(e^(aθ),θ)のため、曲線Cの方程式は r=e^(aθ) (0≦θ≦t) です。
なので、S,Lは淡々と次の積分計算を行います。
L=∫[0,t] r・dθ=∫[0,t] e^(aθ)・dθ=1/a・(e^(at)-1)
S=∫[0,t] 1/2・r^2・dθ=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ=1/(4a)・(e^(2at)-1)
一旦 e^(at)=w と置きます ( e^(2at)=w^2, a,tが正であることから w＞1 )
すると、
L=1/a・(w-1)
S=1/4a・(w^2-1)
S=L^2 からまとめると、w=(4+a)/(4-a) なお、w＞1 ですから分母 4-a＞0 を満たしています。
で、w=e^(at) で戻します。
e^(at)=(4+a)/(4-a)
⇔ at=log( (4+a)/(4-a) )
⇔ t=1/a・( log(4+a)-log(4-a) )
これで t が分かりました。極限 lim[a→+0] t ですが、
f(x)=log(4+x) ( x＞-4 ) という関数を導入して考えます。この導関数は f'(x)=1/(4+x) です。
ここから微分係数の定義に立ち返って、
lim[x→0] ( f(x)-f(0) )/x=lim[x→0] (f(0)-f(-x))/x=f'(0)
よって、2つを足し合わせて
lim[x→0] ( ( f(x)-f(0) )/x + (f(0)-f(-x))/x )=2f'(0)=1/2
⇔ lim[x→0] (f(x)-f(-x))/x=1/2
⇔ lim[x→0] 1/x・(log(4+x)-log(4-x))=1/2
この左辺は lim[a→+0] 1/a・(log(4+a)-log(4-a)) と等しくなりますから、lim[a→+0]t=1/2
※両側極限があるなら、片側極限も同じ値
No.40445 - 2016/11/20(Sun) 18:57:33
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問6
/ angel
引用
問6.
なかなか一筋縄ではいかないので、w=cosθ+isinθ と置いてまとめます。
まず、平行四辺形の構成から z=1+w
1/z^2 の存在範囲を考える以上、z≠0 なので、w≠-1
w=cosθ+isinθ ( -π＜θ＜π ) と置くことができます。
この時、
z=1+w
=(1+cosθ)+isinθ
=2(cos(θ/2))^2+2isin(θ/2)cos(θ/2)
=2cos(θ/2)( cos(θ/2)+isin(θ/2) )
よって、
z^2=4(cos(θ/2))^2・(cosθ+isinθ)=2(1+cosθ)・(cosθ+isinθ)
1/z^2=1/( 2(1+cosθ) )・(cosθ-isinθ)
ということで、1/z^2 の満たす条件を極方程式で表すと、
r=1/( 2(1+cos(-θ)) )=1/(2(1+cosθ))
⇔ r+rcosθ=1/2
1/z^2=x+iy と置く時 ( r=√(x^2+y^2) )、x=rcosθのため、
r+rcosθ=1/2 ⇔ r=1/2-x
ということで、1/z^2=x+iy の描く軌跡は、原点を焦点、x=1/2 を準線とする放物線 x=1/4-y^2
No.40446 - 2016/11/20(Sun) 19:14:16
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Re:
/ ゆう
引用
5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
計算がすごく煩雑になるのですが
S=(1/2)e^(2at)sintcost+1/2∫[t→0]e^(2at)(asin2θ＋cos2θ-1)dθとなりました
これはあっていますかね？
またこの積分だと 同型出現型でかなり計算量膨らみますよね・・・
No.40447 - 2016/11/20(Sun) 22:48:24
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Re:
/ angel
引用
> 5ですか極方程式の積分を使わずにそのまま媒介変数θの積分をすることは可能ですよね？
はい。それは可能です。
極座標でやるよりちょっと面倒ではありますが…、結果的には同じ 1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ が導かれます。
なお、計算の過程は次のような感じになります。
S=1/2・∫[0,t]|xdy/dθ-ydx/dθ|dθ
=1/2・∫[0,t]|e^(aθ)・cosθ・e^(aθ)・(asinθ+cosθ)-e^(aθ)・sinθ・e^(aθ)・(acosθ-sinθ)|dθ
=1/2・∫[0,t]|e^(2aθ)・( cosθ(asinθ+cosθ)-sinθ(acosθ-sinθ) )|dθ
=1/2・∫[0,t] e^(2aθ)・dθ
No.40456 - 2016/11/21(Mon) 01:09:03
