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記事No.40449に関するスレッドです
★ 積分 / 酵母菌
(1)放物線y=2+2x-x^2とx軸で囲まれる図形の面積を直線y=mx+2が2等分するようなmの値を求めよ。
mが正の場合と負の場合とで分けて考えるのでしょうか？
(2)放物線y=-x^2+2x上の点P(t,-t^2+2t)における接線lと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積の最小値を求めよ。
添付画像のところまで解いたのですが、ここからどうすれば良いのかわかりません。
上記の事を教えていただきたいです。よろしくお願い致します。
No.40448 - 2016/11/20(Sun) 22:52:51
☆ Re: 積分 / 酵母菌
画像が見にくいですね…
No.40449 - 2016/11/20(Sun) 22:55:24
☆ Re: 積分 / angel
(2) もう解けたも同然だと思いますよ。
あー…、ただ惜しいことにちょっとミスがあります。

Sを件の面積だとして、S=1/6・(8t-8t+4)^3 のところ、3乗じゃなくて 3/2乗ですね。途中まではちゃんと 3/2乗なので、惜しいところです。

で、S=1/6・(8t^2-8t+4)^(3/2) と分かっていて、() の中身の t の2次式は t=1/2 で最小値を取ることも突き止めている ( 画像の最後の平方完成 )
であれば、8t^2-8t+4 の t=1/2 の時の値、2 を使って S=1/6・2^(3/2) を計算して終わりです。

なお、( 面積を計算して正の値が出る以上 ) 自明ではあるのですが、接線とy=x^2とが交点を持つことは、ちゃんと言っておく必要があると思います。
No.40454 - 2016/11/21(Mon) 00:12:17
☆ Re: 積分 / angel
(1) 場合分けは特に必要ありません。
添付の図のように、まず分かり易い所で線を引いて、どっちの方が大きいかを考えてみます。今回は右上の方が小さいです。

そしたら、半分の面積になるように境界線をずらすことを考えます。面積の変化は三角形で考えることができます。

なお、添付の図のグラフは適当に描いているので、答えとは合っていません。( 答えに合わせると非常に微妙な図になってしまうので… )
No.40455 - 2016/11/21(Mon) 00:39:52