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記事No.40466に関するスレッドです
★ (No Subject) / ゆう
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No.40466 - 2016/11/22(Tue) 14:12:15
☆ 問5 / angel
問5
まず前提として、z^n=1 の解は 1 の n乗根、cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n) ( k=0,1,…,n-1 ) で、全部でn個あります。

それを踏まえて

(1)
整理すると (z^3-1)^2=0 なので、z の解は 1 の3乗根。ということで cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3) (k=0,1,2) を計算

(2) (3)でのm=0 のケースなので省略

(3) z^(3n)+1/z^(3n)=z^(n+1)+1/z^(n+1) を整理して
　(z^(4n+1)-1)(z^(2n-1)-1)=0
これに n=3m+2 を代入して
　(z^(3(4m+3))-1)(z^(3(2m+1))-1)=0
よって解は、1 の 3(4m+3)乗根と 3(2m+1) 乗根
4m+3 と 2m+1 は互いに素であるため、3(4m+3), 3(2m+1) の最大公約数は 3
ここから、1 の3(4m+3)乗根と 3(2m+1)乗根とでは、1の3乗根の3個が重複していることが分かる。
解の個数は、それぞれの根の個数から重複分を引いて
　3(4m+3)+3(2m+1)-3=9(2m+1)
No.40470 - 2016/11/22(Tue) 22:19:54
☆ 問3 / angel
まず、(0,0,1), (p,1,0), (2p,0,-1) の3点を通る平面αの方程式は、x/p+z=1 です。ということを踏まえて。

(1)
S: x^2+y^2+(z-1)^2=4 と xy平面 ( 平面z=0 ) との交わりKは、円 x^2+y^2+(0-1)^2=4 すなわち、x^2+y^2=3 です。
そのため、中心は原点、半径は√3

次にKとαの交点ですが、先にαとxy平面の交わりを求めると、x/p+0=1 から x=p
よって、Kとαの交点は、xy平面上での Kとx=p の交点に他なりません。なので、(p,±√(3-p^2))
※0＜p＜√3 なので、必ず2交点ができる

(2)
平面αは、球面Sの中心(0,0,1)を含むため、Sとαの交わりはSの大円 ( Sと半径が一致する円 ) で、半径は 2 です。
(1)の結果から、Sとαの交わりと、更にxy平面との交点は (p,±√(3-p^2))、今 p=√2 の場合は (√2,±1) であり、この2交点間の距離は2です。

ということは、Sとαの交わりの円とxy平面の交わりでできる弦は長さ2であり、( 円の半径も2であることから ) z≦0 ( xy平面より下 ) の部分の弧の中心角はπ/3

結局、問題の領域は、半径2、中心角π/3の扇形から、1辺の長さ2の正三角形を取り除いたものとなり、面積は 2π/3-√3
No.40471 - 2016/11/22(Tue) 22:50:09