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記事No.40467に関するスレッドです
★ 相似な図形　　中学 / takeda
（２）解説よろしくお願いします。
No.40467 - 2016/11/22(Tue) 18:00:58
☆ Re: 相似な図形　　中学 / みずき
きれいな解法ではないですが。

まず △AEB は直角二等辺三角形です。
簡単のため HD=x,EB=EA=y,EC=z とおきます。

△BEC は直角三角形なので三平方の定理から
(3+1)^2=z^2+y^2 (1)

△BDHと△BECは相似なので
3:y=x:z (2)

△ACBと△DCEは相似なので
(∵4点A,E,D,Bは同一円周上にあるので
∠EDC=∠BED+∠EBD=∠BAD+∠EAD=∠BAC)
y+z:1=4:z (3)

(2)から
z=xy/3 (4)

(4)を(1)に代入して
16=(xy/3)^2+y^2 つまり y^2=144/(x^2+9) (5)

(4)を(3)に代入し整理して
36=xy^2(x+3) (6)

(5)(6)から y^2 を消去し整理して
x^2+4x-3=0 よって HD=x=-2+√7
No.40468 - 2016/11/22(Tue) 20:13:46
☆ Re: 相似な図形　　中学 / angel
実は、今回はより少ない条件でも解が求められます。
取り敢えず HD=x としておきます。

∠A=45°であることから△ABEが直角二等辺三角形でAE=BE
そのため2つの直角三角形AEH,BECが合同です。
ここから AH=BC=4

次に相似な直角三角形BDH,ADCに着目します。
相似により、対応する辺の比 BD:DH=AD:DC ですが、
BD=3, DH=x, AD=AH+HD=4+x, DC=1

これにより、x(4+x)=3・1 ということで、方程式 x^2+4x-3=0 が導かれます。
No.40469 - 2016/11/22(Tue) 21:11:17