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記事No.40495に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ 大輝
引用
全部お願いします
No.40495 - 2016/11/23(Wed) 22:12:19
☆
Re:
/ ｿﾞﾒ
引用
清々しい丸投げっぷりに感心はするのですが
自分で考えるということをしたほうがよい気がします
No.40497 - 2016/11/24(Thu) 12:57:01
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Re:
/ 大輝
引用
ときました
1の(3)はπ/6ですかね？
No.40509 - 2016/11/25(Fri) 10:10:52
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Re:
/ IT
引用
[4]aを3以上の整数とし,x+1/x=aをみたす実数として数列{a[n]}をa[n]=x^n+1/x^nで定める
(1)a[n+1]-a[n]はa-2で割り切れることを示せ
(2)a[n+3]-a[n]はa+1で割り切れることを示せ
(3)すべての正の整数nについて、a[n+3]-a[n]がある素数pで割り切れるとき、a-2またはa+1のいずれかはpで割り切れることを示せ
---------------------------------------------------
[4]の(1)(2) の帰納法のメイン部分だけ
(1)
a(a[n+2])=a[n+3]+a[n+1] よりa[n+3]=a(a[n+2])-a[n+1] …(ア)
a(a[n+1])=a[n+2]+a[n] よりa[n+2]=a(a[n+1])-a[n] …(イ)
よって a[n+3]-a[n+2]=a(a[n+2]-a[n+1])-(a[n+1]-a[n])
したがって a[n+1]-a[n]とa[n+2]-a[n+1]とがともにa-2 の倍数であれば、a[n+3]-a[n+2] もa-2 の倍数 であるといえる。
a[2]-a[1],a[3]-a[2] がa-2 の倍数であることを示せば、任意の自然数nについてa[n+1]-a[n]はa-2 の倍数 であるといえる。（これは自分でどうぞ）
(2)
(ア)(イ)からa[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])
No.40515 - 2016/11/25(Fri) 20:11:31
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Re:
/ IT
引用
[4] の残り
(1)の 帰納法の前半部
a[2]-a[1]=(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=(x+1/x)^2-2-(1+1/x)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)
a[3]=x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2+1/x^2)-(x+1/x)=aa[2]-a
a[3]-a[2]=(a-1)a[2]-a
a[2]=(x+1/x)^2-2=a^2-2 を代入
a[3]-a[2]=(a-1)(a^2-2)-a=a^3-a^2-2a+2-a=a^3-a^2-3a+2=(a-2)(a^2+a-1)
(3)p|(a+1)でないとき,
a[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])なので,p|(a[n+2]-a[n+1]).
n=1,2 とおくと p|(a[3]-a[2])…<1>、p|(a[4]-a[3])…<2>.
a[4]-a[3]=a(a[3]-a[2])-(a[2]-a[1])
<1><2>より p|(a[2]-a[1]),したがってp|(a-2)(a+1)
また<1>より p|(a-2)(a^2+a-1)
ここで、a^2+a-1=(a+1)a-1なのでa^2+a-1とa+1 は互いに素
よって p|(a-2)
したがって,p|(a+1)またはp|(a-2).
# 整数x,y について、x|y はxがyの約数であることを表します。
No.40531 - 2016/11/26(Sat) 11:23:07
