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記事No.40629に関するスレッドです
★ 円周上の扇形の中心角 / たけほうき
シンプルな問題なのですが解法が分かりません。

半径rの円周上に3点A, B, Cを取る。
扇形ABCの面積が円の面積の1/3となるときの扇形の中心角を求めよ。
※但し、円の中心をOとするとき、AO=BO=COとする。

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扇形中心角の頂点を点Aとする。
求める中心角をθとする。
点Aから見て点B側の半円で考えてみる。
・(半円の面積)*1/3=(πr^2)/6…?@

・(三角形AOBの面積)=1/2*r^2*sinθ…?A

直線AOと円周の交点をEとする。
・(扇形OBEの面積)=π*r^2*θ/(2π)…?B

ここで、?A+?B=?@より
sinθ+θ=π/3…?C
となりますが、この方程式が解けません。
何か他のやり方があるのでしょうか。
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No.40617 - 2016/12/01(Thu) 06:34:25
☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / たけほうき
問題文注釈に間違っていました。
※中心角を点Aで定義するとき、線分AB=ACとする。
が正しいです。
No.40619 - 2016/12/01(Thu) 06:45:01
☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / X
他のやり方云々以前に計算が間違っています。
問題文から下のような図が描けていますか。
(ちなみにたけほうきさんが計算で
用いられた点Eも参考のため図に
描き込んでおきました。)
この図から扇形ABCの半径ABを
円周の半径r
と
扇形ABCの中心角θ
を用いて表すことを考えると
面積の条件から最終的に
θ(1+cosθ)=π/3
が導かれます。
しかし、これを解く場合は
近似解しか得られません。
(問題文に誤りはありませんか？)
No.40629 - 2016/12/01(Thu) 19:20:55
☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / たけほうき
ご回答ありがとうございます。図まで用意して頂いて感激です。
恥ずかしながら、扇形を何となく定義していました。弧の部分は当然円弧ですね。
いえ、本問題は知人からの出題だったので、正確な答えが無くても構いません。近似解しか得られないという答が答だと思われます。
No.40645 - 2016/12/02(Fri) 05:58:23
☆ Re: 円周上の扇形の中心角 / X
もう見ていないかもしれませんが、
扇形の面積が円の面積の1/3
ではなくて1/2であれば
θ=π/3,π/2
という結果が得られます。
参考までに。
No.40657 - 2016/12/03(Sat) 04:59:13