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記事No.40641に関するスレッドです
★ (No Subject) / noname
円に内接する正三角形ABCがあり、孤BCの中点をDとする。孤AB上に点Pをとり、PCとABの交点をQ、PDとABの交点をRとする。このとき、AQ×BR＝RQ×ABが成り立つことの証明をしてください。
No.40596 - 2016/11/30(Wed) 17:43:29
☆ Re: / angel
三角形の相似と、等しい円周角からできる角の二等分線に着目します。

まず、△QAP∽△QCB から PA:BC=PQ:BQ
ここから、PA・BQ/PQ=BC

次に、PCが∠APBの二等分線であることから PA:PB=AQ:BQ
ここから、AQ=PA・BQ/PB

最後に、PDが∠CPBの二等分線であることから、PQ:PB=RQ:BR
ここから、BR=RQ・PB/PQ

これらをまとめると、
　AQ・BR
　= PA・BQ/PB・RQ・PB/PQ
　= RQ・(PA・BQ/PQ)
　= RQ・BC
で、正三角形ABCに対してBC=ABであるため、結局 AQ・BR=RQ・AB
No.40641 - 2016/12/01(Thu) 23:43:41