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記事No.40683に関するスレッドです
★
帰納法
/ わん
引用
連投ごめんなさい
こちらの問題も2行目からわからなくなってしまったので
教えていただきたいです
よろしくお願いします
No.40683 - 2016/12/04(Sun) 20:40:09
☆
Re: 帰納法
/ IT
引用
帰納法のメイン部分は
(n!)^2≧n^n を仮定して {(n+1)!}^2≧(n+1)^(n+1) を示せばいいです。
割り算して
(n+1)^2≧(n+1)^(n+1)/(n^n) を示せばいい。
n^n≧(n+1)^(n-1)を示せばいい。
これは1行めの不等式から示せます。
（別解）2行目の式を直接示す方法
n! の一方の順番をひっくり返して掛けると
(n!)^2=Π[a=1,n]((n-a+1)a)
ここで(n-a+1)a - n =(n-a)(a-1)≧0なので (n-a+1)a ≧ n
よって(n!)^2≧ n^n
No.40684 - 2016/12/04(Sun) 21:08:07
☆
Re: 帰納法
/ noname
引用
次の様に考えてもよいです．
[別解]
(1)の不等式より，x≧1の時
xlog(x)≧(x-1)log(x+1)＝(x+1)log(x+1)-2log(x+1).
∴2log(x+1)≧(x+1)log(x+1)-xlog(x).
今得られた式のxの部分に1,2,...,n-1を代入したものを辺々足すと，
2Σ_[k＝1,n-1]log(k+1)≧Σ_[k＝1,n-1]((k+1)log(k+1)-klog(k)).
∴2log(n!)≧nlog(n).
∴log((n!)^2)≧log(n^n).
∴(n!)^2≧n^n.
No.40688 - 2016/12/04(Sun) 22:46:25
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Re: 帰納法
/ わん
引用
丁寧に教えてくださって本当にありがとうございます！
理解できました
No.40696 - 2016/12/05(Mon) 12:13:02
