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記事No.40701に関するスレッドです
★ 三角錐の高さ / メ
この三角錐の、三角形BCDを底面とした時の高さの求め方がいまいち分かりません…三角錐自体の体積は、√3/6 なのですが、元々体積は分からない状態で出題されていますので、体積以外からのアプローチ法を教えて頂けたら有り難いです…
No.40701 - 2016/12/05(Mon) 23:49:40
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
△ABDの、Aから線分BD上に垂線を下ろし、その足をHとした時、△ACHが三角錐内に出来上がり、その△ACHの高さを出せば良いと考えたのですが、全くうまくいきません…どうかご教授下さい…
No.40702 - 2016/12/05(Mon) 23:55:59
☆ Re: 三角錐の高さ / みずき
BD=xのままでは三角形BCDを底面としたときの高さは定まらないと思います。
No.40703 - 2016/12/06(Tue) 00:25:05
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
すいません。BD=√2です
No.40704 - 2016/12/06(Tue) 00:37:46
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
Aから平面BCDに下ろした垂線の足をMとすると
BM⊥BC、DM⊥DCであることからBM=√14/7と求まります。
（上から見た図を書いて考えて下さい。）
よって (高さ)=√(AB^2-BM^2)=2√2/7 となります。
No.40705 - 2016/12/06(Tue) 01:22:07
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様


BD＝√2の時，三角形BCDはBC＝BD＝√2,CD＝1の二等辺三角形であるから，この三角形の底辺を辺BCとすると高さは三平方の定理より

√((√2)^2-(1/2)^2)＝√7/2

となるため，四角錐ABCDの1つの面である三角形BCDを底面とみた時の高さをHとすると，体積の式として

√3/6＝1/3・1/2・1・√7/2・H.

が成り立つのでH＝2√21/7が導かれますが，これは

>(高さ)=√(AB^2-BM^2)=2√2/7

と一致しません．
No.40706 - 2016/12/06(Tue) 01:29:40
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様


> (高さ)=√(AB^2-BM^2)

を計算してみたところ，2√21/7と一致しました．というわけで，先程の私のコメントは無視してください．早とちりをしてしまい失礼致しました．
No.40707 - 2016/12/06(Tue) 01:33:15
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
> Aから平面BCDに下ろした垂線の足をMとすると
> BM⊥BC、DM⊥DCである

ここに関して、非常に素朴な疑問があるのですが、三角錐の頂点から底面に降ろした垂線の足の、場所、位置関係が正確に分からなければ、これらの事は分からないと思うのですが、足の位置関係はどの様にしてここまで正確に特定出来るのでしょうか？ご教授願えませんでしょうか…？
No.40708 - 2016/12/06(Tue) 01:46:49
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
点Dを通り辺BCに直交する直線をℓとすると，Mは直線ℓ上にあることが分かります．この時，直角三角形AMDにおいて三平方の定理を使うと

DM^2＝AD^2-AM^2＝3-AM^2

であり，この時に直角三角形BMDにおいて三平方の定理を使うと

CM^2＝CD^2+DM^2＝4-AM^2.…?@

また，直角三角形ABMにおいて三平方の定理を使うと

BM^2＝AB^2-AM^2＝2-AM^2.…?A

この時に?AとBC＝√2を用いると，

BC^2+BM^2＝2+(2-AM^2)＝4-AM^2.…?B

よって，?@,?BよりBC^2+BM^2＝CM^2が成立するため，三平方の定理の逆により三角形BMCは∠CBMが90度の直角三角形であることが分かります．以上をまとめると，

>BM⊥BC、DM⊥DCである

ことが言えます．
No.40709 - 2016/12/06(Tue) 02:06:36
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
> 足の位置関係はどの様にしてここまで正確に特定出来るのでしょうか？
∠ABCは直角ですから、例えばxyz空間においてBを原点、Cを(√2,0,0)とすると
BCを軸に△ABCをどう回転しても、Aは必ず平面x=0上にあります。
従ってAからxy平面に下ろした垂線の足も平面x=0上すなわちy軸上にありますので、
∠MBCは直角となります。∠MDCの方も同様です。
No.40710 - 2016/12/06(Tue) 02:22:31
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
点Cを通りBDに直行する線ではなぜダメなのでしょうか…そもそも、全ての三角錐に共通できる、三角錐の高さを求める方法って、体積から逆算する以外で無いのでしょうか…？
No.40711 - 2016/12/06(Tue) 02:27:35
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
> 点Cを通りBDに直行する線ではなぜダメなのでしょうか

Aから平面BCDに下ろした垂線の足は点Cを通りBDに直交する直線上にありませんので、
点Cを通りBDに直交する直線を考えても求まりません。

> そもそも、全ての三角錐に共通できる、三角錐の高さを求める方法って、体積から逆算する以外で無いのでしょうか

そんなことはありません。どんな三角錐でも上と同様の方法で求められるはずです。
例えば∠ABCが鋭角の場合は△ABC上でAからBCに垂線AHを下ろして
AHやHCを求め、△AHCについて考えれば同様に考えられます。
（この場合MはHを通りBCに垂直な直線上にあることになります。）
No.40712 - 2016/12/06(Tue) 02:48:45
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
座標設定をせずにBMの長さを求めるならば，次の様に考えてもよいです．


[考え方]
BM＝tとすると三平方の定理より

DM^2＝CM^2-CD^2＝(BC^2+BM^2)-CD^2＝t^2+1

が成り立つからDM＝√(t^2+1)であり，四角形BCDMの面積の式として

(三角形BCDの面積)+(三角形BDMの面積)＝(三角形BCMの面積)+(三角形CDMの面積).
∴1/2・1・√7/2+1/2・1/2・√(t^2+1)＝1/2・√2・t+1/2・1・√(t^2+1).
∴√7-2√2t＝√(t^2+1).
∴(√7-2√2t)^2＝t^2+1.
∴7t^2-4√14t+6＝0.
∴t＝√14/7,3√14/7.

ところで，DM≦√7/2，すなわちt≦√3/2であるから，これを満たすtの値はt＝√14/7である．ゆえに，BM＝√14/7である．
No.40714 - 2016/12/06(Tue) 03:18:29
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
BMは三角形の相似を用いて以下のように算出することもできます。

BからCDに垂線BPを下ろすとBP=√(BC^2-CP^2)=√7/2
MからBPに垂線MQを下ろすとMQ=DP=1/2で
△BMQ∽△CBPなのでBM=(BC/BP)MQ=√14/7
No.40715 - 2016/12/06(Tue) 04:30:07
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
> 点Dを通り辺BCに直交する直線をℓとすると，Mは直線ℓ上にあることが分かります

何度もすみません…そもそもの所なんですが、なぜ頂点Aから底面へ引いた垂線の足(M)、が、点Dを通り辺BCに直交する線分上にあると特定できているのでしょう…何度も申しわけありません…
No.40720 - 2016/12/06(Tue) 12:20:05
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>なぜ頂点Aから底面へ引いた垂線の足(M)、が、点Dを通り辺BCに直交する線分上にあると特定できているのでしょう

三角形BCDが存在する平面をαとし，α上にある点E,Fを添付された図の様にとります．そして，半径が線分DEの長さで中心がDである円上で点Pを一回り動かすと，Pからαに向けて引いた垂線の足をIとするとIは線分EF上を動きます．特に，Mは直線ℓ上にあることが分かります．
No.40721 - 2016/12/06(Tue) 14:02:12
☆ Re: 三角錐の高さ / らすかる
どういう間違いかわからずコメントのしようがなかったので
静観していたのですが、その図ならば
「点Dを通り辺BCに直交する直線」は
「点Dを通り辺CDに直交する直線」の誤りですね。
No.40722 - 2016/12/06(Tue) 14:10:37
☆ Re: 三角錐の高さ / メ
すみません…自分高1なのですが、これって高1数学の範囲内なのでしょうか…
No.40723 - 2016/12/06(Tue) 14:16:27
☆ Re: 三角錐の高さ / noname
>>らすかる様

仰る通りですね．らすかる様，ご指摘感謝致します．


>>質問者様

らすかる様のご指摘の通り，誤りが見られました．失礼致しました．さて，この問題が高1数学の知識で解けるものなのかどうかについてですが，「その範囲内で解けるもの」です．また，先程の図の3次元版も添付しておきます．
No.40726 - 2016/12/06(Tue) 14:41:36