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記事No.40864に関するスレッドです
★ (No Subject) / posi
三角形ABCの面積は(3+√3)/4,外接円の半径は1,角BAC=60°,AB>ACである。このとき、三角形ABCの各辺の長さを求めよ。
よろしくお願いします。
No.40845 - 2016/12/16(Fri) 00:21:36
☆ Re: / X
△ABCにおいて正弦定理により
BC/sin60°=2・1
∴BC=√3
よって
AB=x,CA=y
と置くと余弦定理により
3=x^2+y^2-2xycos60°
∴x^2+y^2-xy=3 (A)
又△ABCの面積について
(1/2)xysin60°=(3+√3)/4
∴{(√3)/4}xy=(3+√3)/4 (B)
条件から
x＞y＞0
に注意して(A)(B)をx,yについての
連立方程式として解きます。

但し、計算を工夫しても途中計算に
√の混じった値が出てくるので
注意が必要です。
まずはx+y=t,xy=uと置くと
(A)(B)はそれぞれ
t^2-3u=3 (A)'
{(√3)/4}u=(3+√3)/4 (B)'
これを解いてt,uの値を求めます。
(B)'より
u=1+√3
(A)'に代入して
t^2=6+3√3
これより
t^2=(12+6√3)/2
t^2=(12+2√27)/2
t^2=(1/2)(3+√3)^2
条件からt＞0ゆえ
t=(3+√3)/√2

よって解と係数の関係から
x,yはkの二次方程式
k^2-tk+u=0
つまり
k^2-(3+√3)k/√2+1+√3=0
の解となりますので、これを解きます。
一見難しそうですが
(√2)k^2-(3+√3)k+(1+√3)√2=0
と変形すれば左辺はたすき掛けでき
{(√2)k-(1+√3)}(k-√2)=0
∴k=(1+√3)/√2,√2
(1+√3)/√2＞√2
であることから
x=(1+√3)/√2=(√2+√6)/2
y=√2
よって
AB=(√2+√6)/2
BC=√2
となります。
No.40846 - 2016/12/16(Fri) 04:41:13
☆ Re: / noname
次の様に考えてもよいです．


[別解]
Cから辺ABに向けて垂線を引き，この垂線と辺ABの交点をDとする．ABの長さをxとすると，直角三角形ACDの三辺の比よりAD＝x/2,CD＝√3x/2である．また，三角形ABCにおいて正弦定理を使うとBC＝√3である．よって，直角三角形BCDにおいて三平方の定理を用いると

BD^2＝BC^2-CD^2＝3-3x^2/4＝3/4・(4-x^2).
∴BD＝√(3(4-x^2))/2.
∴AB＝AD+BD＝(x+√(3(4-x^2)))/2.

この時，4-x^2＞0かつx＞0，すなわち0＜x＜2が必要である．よって，三角形ABCの面積の式として

1/2・(x+√(3(4-x^2)))/2・√3x/2＝(3+√3)/4

が成り立つ．両辺を8/√3倍すると，

x(x+√(3(4-x^2)))＝2(√3+1).
∴x^2-2(√3+1)＝-x√(3(4-x^2)).
∴{x^2-2(√3+1)}^2＝3x^2(4-x^2).
∴4x^4-4(√3+1)x^2-12x^2+4(√3+1)^2＝0.
∴x^4-(√3+4)x^2+(2√3+4)＝0.
∴x^2＝((√3+4)±√((√3+4)^2-4(2√3+4)))/2＝(√3+1)^2/2,2.
∴x＝±(√6+√2)/2,±√2.

0＜x＜4よりx＝√2である．この時，

AB＝√2/2+√(3(4-2))/2＝(√6+√2)/2.

したがって，三角形ABCの3辺の長さは

AB＝(√6+√2)/2,BC＝√3,CA＝√2.
No.40851 - 2016/12/16(Fri) 17:08:35
☆ Re: / noname
>0＜x＜4よりx＝√2である．


これは嘘ですね．そういうわけでこの箇所に対する訂正を与えておきます．

[訂正]
ところで，AB＞ACより

(x+√(3(4-x^2)))/2＞x.
∴√(3(4-x^2))＞x.
∴x^2-3x＜0.
∴-√3＜x＜√3.

0＜x＜2より0＜x＜√3である．これを満たすxの値はx＝√2である．
No.40852 - 2016/12/16(Fri) 17:19:10
☆ Re: / らすかる
次のように解くこともできます。

外接円の中心をOとします。
BCの垂直二等分線と優弧BCの交点をDとすると
△DBCは高さ3/2の正三角形となるので、BC=DB=(2/√3)(3/2)=√3
△ABC=(3+√3)/4なので、AからBCに垂線AHを下ろすと
AH=(3+√3)/4×2÷√3=(√3+1)/2
Oを通りBCに平行な直線とAHの交点をPとするとPH=1/2なのでAP=√3/2
AO=1なのでOP=1/2
従ってBH=√3/2+OP=(√3+1)/2=AHなので△ABHは直角二等辺三角形
よってAB=(√2)AH=(√6+√2)/2、AC=√{{(√3+1)/2}^2+{√3-(√3+1)/2}^2}=√2
No.40857 - 2016/12/16(Fri) 20:26:08
☆ Re: / noname
BCの長さの求め方については，以下の様な図を作成して円周角の定理を利用して初等的に求めてもよいです．
No.40864 - 2016/12/16(Fri) 23:28:20
☆ Re: / noname
らすかる様の解き方だと，CAの長さを求めるところでは

∠BCA＝180°-(60°+45°)＝75°

であり，∠BCO＝30°より∠ACO＝45°なので三角形AOCはAO＝OC＝1,∠AOC＝90°の直角二等辺三角形であるから

AC＝√2OC＝√2

として求めてもよいかもしれません．
No.40865 - 2016/12/16(Fri) 23:37:26
☆ Re: / らすかる
nonameさんからいくつか良いアイデアを頂きましたので、解き方をまとめ直します。

外接円の中心をOとします。
直線COと円とのもう一つの交点をDとすると
∠CDB=60°、∠DBC=90°なのでBC=(√3/2)CE=√3
AからBCに垂線AHを下ろすとAH=△ABC×2÷BC=(√3+1)/2
OからAHに垂線OPを下ろすとPH=1/2なのでAP=√3/2、またAO=1なのでOP=1/2
OからBCに垂線OMを下ろすとBH=BM+MH=BM+OP=(√3+1)/2=AHなので
△ABHは直角二等辺三角形、よってAB=(√2)AH=(√6+√2)/2
また∠ABC=45°から△OCAは直角二等辺三角形なのでAC=(√2)OA=√2
No.40867 - 2016/12/17(Sat) 01:32:05