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記事No.40872に関するスレッドです
★ (No Subject) / カイト
画像の問題が分からないので教えて下さい。
お願いします🙇⤵
No.40869 - 2016/12/17(Sat) 08:07:03
☆ Re: / X
(a)
f(t),g(t)にt=0を代入します。
(b)
相加平均と相乗平均の関係を使います。
(c)
{f(t)}^2=(1/4){a^t+a^(-t)}^2
=…(展開します)
(d)
x=f(t)
y=g(t)
と置くと
x^2-y^2=…
ここで(b)の結果によりxの値の範囲は…
No.40870 - 2016/12/17(Sat) 12:26:31
☆ Re: / angel
> (b)
> 相加平均と相乗平均の関係を使います。
いやこれ、相加平均・相乗平均使うのはマズイでしょう…。
「値域を求めよ」なので。
2次方程式の解の存在条件 ( 判別式 ) から行くところだと思います。
No.40871 - 2016/12/17(Sat) 13:39:55
☆ Re: / noname
u＝a^tとおくとf(t)の式の左辺は1/2・(u+1/u)となるため，関数f(t)の値域を求めるためには関数F(u)＝1/2・(u+1/u)(u＞0)の値域を考えれば十分だということが分かります．そこで，もし数学?Vの微分法の内容を学習済みであれば，F(u)のu＞0での増減及びグラフの概形を調べることでF(u)の値域を求めてもよいです．ちなみに，F(u)のu＞0でのグラフの概形は下の図のようになります．
No.40872 - 2016/12/17(Sat) 15:15:58
☆ Re: / noname
>u＝a^tとおくとf(t)の式の左辺

誤植が見られました．正しくは「式の右辺」です．失礼致しました．
No.40873 - 2016/12/17(Sat) 15:18:26
☆ Re: / noname
補足ですが，本問は双曲線x^2-y^2＝1のパラメータ表示に関する問題です．特にaが自然対数の底eである場合は，f(t)やg(t)は双曲線関数などと呼ばれます．双曲線関数には

・双曲線正弦関数sinh(x)＝(e^x-e^{-x})/2
・双曲線余弦関数cosh(x)＝(e^x+e^{-x})/2
・双曲線正接関数tanh(x)＝(e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})

などがあり，これらは三角関数の性質に類似した性質を持ちます．興味があれば適当な資料を参考に知識を深めてみてください．
No.40874 - 2016/12/17(Sat) 15:30:19
☆ Re: / X
>>angelさんへ
f(t)が実数全体で連続で
lim[t→±∞]f(t)=∞
を押さえておけば、相加平均と相乗平均の関係
でf(t)の最小値を求めれば十分と考えたのですが
確かに関数の発散を学んでいないと使えませんね。

>>カイトさんへ
もし、教科書の関数の極限の項目で関数の発散
について学習していないのであれば、(b)の私の
解答の方針では問題がありますので、使わない
ようにしてください。
No.40877 - 2016/12/17(Sat) 17:07:37
☆ Re: / angel
> f(t)の最小値を求めれば十分と考えたのですが

いずれにせよ注意は必要かと思います。

* 相加平均・相乗平均での不等号の等号成立
* 連続関数
* +∞への発散

全部が揃う必要がありますから…。
いや、問題的には大体揃っているのでしょうが、説明しないと根拠不足になるところです。
そこまで分かっていて使うのはもちろん構わないのですが、そこまで分かってるならそもそも質問しないだろうというのもありまして。
No.40878 - 2016/12/17(Sat) 17:14:51