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記事No.40876に関するスレッドです
★
三角関数
/ しみず
引用
このアの問題がわかりません。
答えは右が最小値 真ん中が最大値です。
よろしくお願いします。
No.40850 - 2016/12/16(Fri) 16:09:14
☆
Re: 三角関数
/ X
引用
加法定理により
sin{(A+B)/2}=sin(A/2)cos(B/2)+cos(A/2)sin(B/2)
∴sin(A/2)+sin(B/2)-sin{(A+B)/2}
=sin(A/2){1-cos(B/2)}+{1-cos(A/2)}sin(B/2)
となるので
A,BがA≠Bである鋭角 (P)
であることから
sin(A/2)+sin(B/2)-sin{(A+B)/2}＞0
∴sin(A/2)+sin(B/2)＞sin{(A+B)/2} (A)
一方、和積の公式により
(sinA+sinB)/2=sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
∴sin{(A+B)/2}-(sinA+sinB)/2
={1-cos{(A-B)/2}}sin{(A+B)/2} (B)
(P)より
0＜A＜π/2,0＜B＜π/2,A-B≠0
∴-π/4＜(A-B)/2＜0,0＜(A-B)/2＜π/4
よって(B)より
sin{(A+B)/2}-(sinA+sinB)/2＞0
∴sin{(A+B)/2}＞(sinA+sinB)/2 (B)'
(A)(B)'により
最小値は(sinA+sinB)/2
最大値はsin(A/2)+sin(B/2)
No.40859 - 2016/12/16(Fri) 21:17:48
☆
Re: 三角関数
/ しみず
引用
詳しい説明ありがとうございました。
理解できました
No.40860 - 2016/12/16(Fri) 21:20:28
☆
Re: 三角関数
/ noname
引用
次の様に考えてもよいです．
[別解]
三角関数sin(x)の0≦x≦πでのグラフは上に凸である．よって，下図を参考にすると2点R,R'のy座標を比べることにより
(sin(A)+sin(B))/2≦sin((A+B)/2)
が成立する．一方，A,Bは鋭角であるからsin(A/2),sin(B/2),cos(A/2),cos(B/2)はどれも0と1の間にある実数である．よって，このことと三角関数の加法定理を用いると
sin((A+B)/2)＝sin(A/2)cos(B/2)+cos(A/2)sin(B/2)≦sin(A/2)+sin(B/2).
以上により，
(sin(A)+sin(B))/2≦sin((A+B)/2)≦sin(A/2)+sin(B/2)
が成り立つ．したがって，最大値はsin(A/2)+sin(B/2)，最小値は(sin(A)+sin(B))/2である．
No.40876 - 2016/12/17(Sat) 16:38:25
