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記事No.40884に関するスレッドです
★ 分かりません。 / ゆうと
画像の問題が全く分かりません。
解き方と答えをそれぞれ教えて下さると助かります。お願いいたします。
No.40884 - 2016/12/17(Sat) 20:40:03
☆ Re: 分かりません。 / X
1.
n→∞を考えるのでn≧2としても問題ありません。
このとき二項定理により
2^n=(1+1)^n=Σ[k=0〜n]nCk＞nC2=n(n-1)/2
∴0＜n/(2^n)＜2/(n-1)
よってはさみうちの原理により
lim[n→∞]n/2^n=0

2.
(与式)=lim[n→∞](log2)(√n)/logn (A)
ここで
f(x)=x-logx
と置くと
f'(x)=(x-1)/x
∴x≧1においてf(x)は単調増加となり
f(x)≧1＞0
∴x＞logx (x≧1)
となるので
0＜(log2)(√n)/logn＜(log2)(√n)/n
∴0＜(log2)(√n)/logn＜(log2)/√n
よって(A)とはさみうちの原理により
(与式)=0

3.
(与式)=lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)/{(2-1/n)(1+1/n)}
=1/2

4.
n→∞を考えるのでn≧11と考えても問題ありません。
このとき
0＜(10^n)/n!={(10^10)/10!}(10/11)(10/12)・…・(10/n)
＜{(10^10)/10!}(10/11)^(n-10)
よってはさみうちの原理により
lim[n→∞](10^n)/n!=0

5.
面積比較により
Σ[j=1〜k]1/j＞∫[1→k+1]dx/x=log(k+1)
∴Σ[k=1〜∞]1/k=lim[k→∞]Σ[j=1〜k]1/j=∞
ということで発散します。
No.40887 - 2016/12/17(Sat) 21:43:43
☆ Re: 分かりません。 / noname
最後の問いについては次の様に考えてもよいです．


自然数n＞1に対して2^m≦n≦2^{m+1}を満たす自然数mを選ぶ時，

Σ_[j＝1,n]1/j
≧Σ_[j＝1,2^m]1/j
＝1+Σ_[j＝2,2^m]1/j
＝1+Σ_[k＝0,m-1](Σ_[j＝2^k+1,2^{k+1}]1/j)
≧1+Σ_[k＝0,m-1](Σ_[j＝2^k+1,2^{k+1}]1/2^{k+1})
＝1+Σ_[k＝0,m-1]1/2
＝1+m/2.

ここで，n→∞の時m→∞であるから，1+m/2→∞となります．よって，

Σ_[j＝1,n]1/j→∞(n→∞)

が成立します．
No.40904 - 2016/12/19(Mon) 00:27:25
☆ (No Subject) / ゆうと
ありがとうございました_(._.)_
No.40905 - 2016/12/19(Mon) 07:09:59