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記事No.41302に関するスレッドです
★ (No Subject) / sy
この問題教えてください。
No.41302 - 2017/01/21(Sat) 18:31:09
☆ Re: / みずき
y=f(x)=(x+p/2)^2+q-(p^2)/4
は頂点(-p/2,q-(p^2)/4)の下に凸の放物線なので
（ア）から q-(p^2)/4＜0 が必要です。

pが偶数、つまり p=2 のとき
q-(p^2)/4＜0 となるような素数qは存在しないので
pは奇素数です。

(-p-1)/2が整数なので（イ）から
f((-p-1)/2)=(-p^2+4q+1)/4≧0 が必要です。

これと q-(p^2)/4＜0 とから
4q＜p^2≦4q+1 となるので p^2=4q+1

これを変形して 4q=(p-1)(p+1)
p±1が偶数であることと p-1＜p+1 に注意して
(p-1,p+1)=(2,2q),(q,4) → (p,q)=(3,2)

よって f(x)=x^2+3x+2（これは十分です）
No.41303 - 2017/01/21(Sat) 19:08:55
☆ Re: / IT
関数電卓さんの方針（No.41304）で詳しく書くと

（ア）よりf(x)=0 は異なる実数解α,β(α＜β）を持つ.
（イ）よりα＜n＜βなる整数nは存在しない…(1). よって β-α≦１.
β-α＝√(p^2-4q)なので0＜p^2-4q≦1.
ここでp,qは整数なのでp^2-4q=1
よってβ=α+1であり,αは整数となる.（∵整数でないと(1)に反する）
解と係数の関係からp=-(2α+1),q=α(α+1).
p＞0なのでα＜0,qは素数なのでα+1=-1.すなわちα=-2.
したがって(p,q)=(3,2)
No.41308 - 2017/01/21(Sat) 20:45:54