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記事No.41309に関するスレッドです
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(No Subject)
/ くし
引用
お手数ですがこの問題を教えてください！
途中過程も添えていただければありがたいです
No.41309 - 2017/01/21(Sat) 21:39:25
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Re:
/ noname
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(1)については，断面が存在するためにはsin^2t(cosy+cost)≧0が成立しなければならず，tの範囲と三角関数の和積の公式よりこの不等式はcos((y+t)/2)cos((y-t)/2)≧0と同値ゆえ，これを満たすyの範囲と0≦y≦πを考えればよいです．ところで，
t/2≦(y+t)/2≦(π+t)/2，-t/2≦(y-t)/2≦(π-t)/2，
0≦t/2≦π/4，π/2≦(π+t)/2≦3π/4，
-π/4≦-t/2≦0，π/4≦(π-t)/2≦π/2
であるから，t/2≦(y+t)/2≦π/2かつ0≦y≦π，すなわち，0≦y≦π-tが成立しなければなりません．この時，平面x＝tによるFの断面の面積S(t)は
S(t)＝∫_[0,π-t]sin^2t(cosy+cost)dy
により計算することができます．
(2)については，S(t)を求めた後で定積分∫_[0,π/2]S(t)dtを計算してVの値を求めればよいです．
No.41312 - 2017/01/21(Sat) 23:16:33
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Re:
/ くし
引用
積分の計算のところを詳しく書いてもらってもよろしいでしょうか？
No.41314 - 2017/01/21(Sat) 23:26:07
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Re:
/ noname
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>積分の計算のところを詳しく書いてもらってもよろしいでしょうか？
S(t)の計算とVの計算のどちらに関してでしょうか．いずれにせよ，定積分の計算についてなのでどこまで計算出来たのかを書いていただけるとツッコミを行いやすいです．
No.41315 - 2017/01/21(Sat) 23:42:40
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Re:
/ くし
引用
vです。
No.41316 - 2017/01/21(Sat) 23:47:57
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Re:
/ noname
引用
了解致しました．S(t)の式を出すことは出来ましたか？
もし出来ていらっしゃるようでしたら答えのみをお書きください．
No.41317 - 2017/01/21(Sat) 23:53:47
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Re:
/ くし
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これであってますか？
No.41318 - 2017/01/22(Sun) 00:03:17
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Re:
/ noname
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正しくないです．計算結果の括弧の中のcostの係数はπ-t，括弧の中のsintの符号はプラスとなる筈です．
一方，Vの計算についてですが，
∫_[0,π/2]sin^2t{(π-t)cost+sint}dt
＝∫_[0,π/2](π-t)・sin^2tcostdt+∫_[0,π/2]sin^3tdt
＝∫_[0,π/2](π-t)・(sin^3t/3)'dt+∫_[0,π/2]sin^3tdt
の様に変形した後で，最右辺の第一項については被積分関数のπ-tの部分を微分する側，(sin^3t/3)'を積分する側とみれば，部分積分法により
∫_[0,π/2](π-t)・(sin^3t/3)'dt
＝[(π-t)・sin^3/3]^{π/2}_0+1/3・∫_[0,π/2]sin^3tdt
の様に計算することが出来ます．よって，
∫_[0,π/2]sin^2t{(π-t)cost+sint}dt＝[(π-t)・sin^3/3]^{π/2}_0+4/3・∫_[0,π/2]sin^3tdt
が成立します．右辺の第二項の計算については，
sin^3t＝(1-cos^2t)sint＝sint-cos^2tsint＝sint+(cos^3t/3)'
の様に変形できることに注意して計算するとよいでしょう．
No.41321 - 2017/01/22(Sun) 00:16:51
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Re:
/ くし
引用
∫_[0,π/2](π-t)・(sin^3t/3)'dt
＝[(π-t)・sin^3/3]^{π/2}_0+1/3・∫_[0,π/2]sin^3tdtここの、_0の意味がわかりません
No.41330 - 2017/01/22(Sun) 01:05:47
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Re:
/ くし
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さっきのやつは、わかりました！
最後の積分の値が不安です
No.41331 - 2017/01/22(Sun) 01:10:03
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Re:
/ noname
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下から2段目の数式
>1/3・π/2+4/3・(1/3+1)
が正しくないです．実際には
1/3・π/2+4/3・(-1/3+1)
となる筈です．
No.41333 - 2017/01/22(Sun) 01:27:00
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Re:
/ くし
引用
ありがとうございました！
No.41336 - 2017/01/22(Sun) 02:18:45
