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記事No.41389に関するスレッドです
★ 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らぐ
次の２つの立体の共通部分の体積と表面積を求めよ.
球体 x^2+y^2+(z-3)^2≦5 と円放物体 x^2+y^2≦z

グラフは想像できるのですが,積分領域がよくわかりません.
(いろんな例題も見てみましたが,なぜそのような積分領域になるかもよくわかんないです.)

解答は体積が(20√5/3 - 9/2)π
表面積が(120+17√17-41√5)π/6
となっています.
No.41381 - 2017/01/24(Tue) 22:54:29
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / X
問題の立体は
x^2+(z-3)^2≦5,y=0 (A)
(円の周及び内部)
と
z≧x^2,y=0 (B)
(下に凸の放物線の上側の領域)
をz軸の周りに回転させてできる
回転体の共通部分
となることはよろしいですか？
対称性からz軸に関する積分で計算した方が
簡単ですので、積分範囲を求める為
(A)(B)の境界線である
x^2+(z-3)^2=5,y=0 (A)'
と
z=x^2,y=0 (B)'
との交点のz座標を求めます。
(A)'(B)'より
z+(z-3)^2=5
∴z^2-5z+4=0
z=1,4
これを元に(A)'(B)'のグラフを描き
(想像ではなくてきちんと描きましょう)
更にこのグラフにおいて(A)(B)の共通領域
がどの部分になるかを描き込むと
問題の回転体は
(B)に対する部分
z:1→4
と
(A)に対する部分
z:3-√5→1,4→3+√5
((注)z=3-√5,3+√5は(A)'とz軸との
交点のz座標です。)
に分割することができます。

以上を踏まえて、3分割した部分それぞれにおける
回転体の体積を求めてその和を取ります。
表面積についても考え方は同じで、3分割した部分
それぞれにおける回転体の表面積を求めて和と
取ります。
No.41382 - 2017/01/24(Tue) 23:14:20
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / X
図を描くと下のようになります。
この図の紫色の部分を縦軸に関して回転させた
ものが、問題の回転体になります。
この紫色の領域を二本の点線で3分割して
考える、ということです。
No.41389 - 2017/01/25(Wed) 00:08:13
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らぐ
とてもわかりやすい説明ありがとうございます.
脳ミソフル回転して考えましたが次のやり方でいいですか？

とりあえず体積から考えます.
貼ってくださった画像の紫色の部分をz軸のまわりに1回転したものが求める体積ですよね？

つまりV1= π??(3-√5→1) (√(5-(z-3)^2))^2dz
V2=π??(1→4) (√z)^2dz
V3=π??(4→3+√5) (√(5-(z-3)^2))^2dz
を計算してこれらを足せばいいのですか？
No.41395 - 2017/01/25(Wed) 01:34:06
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らぐ
回転面の曲面積は
f(z)=√(5-(z-3)^2)
g(z)=√zとしますと

S1=2π??(1→3-√5) f(z)√(1+(f'(z))^2)dz
S2=2π??(1→4) g(z)√(1+(g'(z))^2)dz
S3=2π??(4→3+√5) f(z)√(1+(f'(z))^2)dz
を足せばよいですか？
No.41397 - 2017/01/25(Wed) 02:07:16
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / X
体積、表面積いずれもその計算で問題ありません。

但し、次回からアップするときは積分の記号に
∫
を使いましょう。
??
は別の記号です。
No.41399 - 2017/01/25(Wed) 06:15:43
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らぐ
ありがとうございます.
この系統の問題はできるようになりました.

積分記号って?唐ｵか予測変換にありません...
ちなみに「いんてぐらる」と入力しています.
No.41407 - 2017/01/25(Wed) 18:04:46
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らすかる
「せきぶん」と入力したらどうですか？
No.41411 - 2017/01/25(Wed) 18:52:29
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / X
「すうがく」と入力して変換候補を切り替えても出てきます。
No.41412 - 2017/01/25(Wed) 19:29:10
☆ Re: 曲面で囲まれる立体の体積と表面積 / らぐ
∫
できました.
すうがくと打ったらいろんな記号が出てきて便利ですね!
No.41418 - 2017/01/25(Wed) 22:22:20