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記事No.41520に関するスレッドです
★ 数列 / 高校生
この問題（1）は出来たのですが、（2）が出来ません。
解答にはＳnをn二乗とおいて、（1）に帰着させるとあるのですが、Ｓnを自由に文字で置くことに違和感があります。
No.41520 - 2017/02/01(Wed) 23:11:12
☆ Re: 数列 / noname
とりあえず，(1)の結果を使わずに(2)を解くのであれば，

1/(k^2(k+1)(k+2)^2)
＝1/(4(k+1))・(1/k^2-1/(k+2)^2)
＝1/4・(1/(k^2(k+1))-1/((k+1)(k+2)^2))
＝1/4・(1/k・(1/k-1/(k+1))-1/(k+2)・(1/(k+1)-1/(k+2)))
＝1/4・(1/k^2-1/(k(k+1))-1/((k+1)(k+2))-1/(k+2)^2)
＝1/4・(1/k^2-(1/k-1/(k+1))-(1/(k+1)-1/(k+2))-1/(k+2)^2)
＝1/4・(1/k^2-1/k+1/(k+1)-1/(k+1)+1/(k+2)-1/(k+2)^2)
＝1/4・(1/k^2-1/k+1/(k+2)-1/(k+2)^2)
＝1/4・(1/k^2-1/(k+2)^2)-1/4・(1/k-1/(k+1))

の様に部分分数分解を行った後でk＝1からk＝nまでの和をとって計算すればよいかと思います．
No.41525 - 2017/02/02(Thu) 01:21:46
☆ Re: 数列 / noname
先程の回答において部分分数分解の結果が

>1/4・(1/k^2-1/(k+2)^2)-1/4・(1/k-1/(k+1))

と書かれていますが，これは間違いです．正しくは

1/4・(1/k^2-1/(k+2)^2)-1/4・(1/k-1/(k+2))

です．失礼致しました．
No.41528 - 2017/02/02(Thu) 01:23:25
☆ Re: 数列 / noname
(1)の結果

Σ_[k＝1,n]T_[k]＝1/(S_[1]S_[2])-1/(S_[n+1]S_[n+2])

を用いて(2)を解くのであれば，a_[n]＝2n-1(n≧1)とするとS_[n]＝n^2(n≧1)であり，

T_[n]＝(a_[n+1]+a_[n+2])/(S_[n]S_[n+1]S_[n+2])＝4/(n^2(n+1)(n+2)^2)

となるため，

Σ_[k＝1,n]1/(k^2(k+1)(k+2)^2)
＝1/4・Σ_[k＝1,n]T_[k]
＝1/4・(1/(S_[1]S_[2])-1/(S_[n+1]S_[n+2]))
＝1/4・(1/(1^2・2^2)-1/((n+1)^2(n+2)^2))

の様に変形することが出来ます．
No.41532 - 2017/02/02(Thu) 02:17:11
☆ Re: 数列 / 高校生
２つのやり方を教えていただきありがとうございます。
No.41536 - 2017/02/02(Thu) 10:38:30