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記事No.41559に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ sy
引用
この問題教えてください。
No.41539 - 2017/02/02(Thu) 19:55:26
☆
Re:
/ angel
引用
ざっくりと。
まず、θ=36°とした時の cosθの満たす条件を調べておきます。( 値そのものは不要 )
添付の図左側のように、二等辺三角形の中に、自身と相似な二等辺三角形、異なる形の二等辺三角形ができることから調べることができます。
ここから
4(cosθ)^2-2cosθ-1=0
⇔ 2cos(2θ)-2cosθ+1=0
( 計算してみて下さい )
そして問題の形です。
添付の図右のように整理すると、余弦定理より
PB,PDはxの2次方程式 x^2+p^2-a^2-2px・cosθ=0 の相異なる2解もしくは重解
PA,PEはxの2次方程式 x^2+p^2-b^2-2px・cos(2θ)=0 の相異なる2解もしくは重解
ということで、解と係数の関係から、
PB+PD=2p・cosθ
PA+PE=2p・cos(2θ)
と分かります。
なので、最初に出した 2cos(2θ)-2cosθ+1=0 から、
PA+PC+PE-(PB+PD)
= 2p・cos(2θ)+p-2p・cosθ
= p( 2cos(2θ)-2cosθ+1 )
= 0
となるのです。
No.41559 - 2017/02/03(Fri) 03:16:11
☆
Re:
/ noname
引用
トレミーの定理を用いて証明することも可能です．詳細については，次のURL先の資料
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/79/79-6.pdf
の20ページの(2)の問いの解答例をご参考ください．また，トレミーの定理については三角比を用いた証明もありますが，
http://yosshy.sansu.org/theorem/ptolemy.htm
に書かれている様な，平面幾何の知識での証明もあります．個人的にはこの証明が簡潔かと思います．
No.41561 - 2017/02/03(Fri) 03:28:50
