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記事No.41587に関するスレッドです
★ ベクトル / 高3
角A,角Bが鋭角でAB=1である三角形ABCについて、辺AB上の点DはCD垂直ABを満たし、辺BC上の点EはDE垂直BCを満たす。三角形ABCが変化するとき、三角形ADEの面積の最大値を求めよ。という問題をベクトルを用いて解答可能ですか？出来たら解答を教えて下さい。答えは1/16です
No.41574 - 2017/02/03(Fri) 15:51:34
☆ Re: ベクトル / angel
部分的にベクトルの計算を入れることはできるでしょうが、あまりメリットはないですね。
少なくともベクトル主体の解法は思い浮かばないです。
ベクトルを使わない方法は問題ないでしょうか?
No.41581 - 2017/02/03(Fri) 19:16:47
☆ Re: ベクトル / angel
一応、多分楽な方法として。

E は ( 垂線の足であることから ) BDを直径とする円周上にあります。
なので、△ADEの、ADを底辺とした時の高さとしては、円の半径の長さ ( BD/2 ) が上限です。

ということは、AD=t と置いた時、△ADEの面積Sは
　S≦1/2・t・(1-t)/2
で上限が決まっているということです。

これを2次関数なり2次方程式の問題として解けば t=1/2 の時 S=1/16 が最大、で実際に S=1/16 になることがあるのか? というと、△ABCが直角二等辺三角形になるのが、その時だ、ということになります。
※ t=1/2 の時に、本当に△ADEの高さが、半径 1/2・(1-t)=1/4 になれるかどうかは保証されていないため、検証する必要がある
No.41585 - 2017/02/03(Fri) 20:04:53
☆ Re: ベクトル / 高3
なるほどすごく早いですね。ありがとうございます。最初僕は三角比で解きました。
もう一つ聞きたいのですが下の画像のベクトルの式が最終的にD=Cとなってしまい問題文に矛盾してしまうのですがどこが間違いなのでしょうか。指摘お願いします
No.41587 - 2017/02/03(Fri) 20:56:40
☆ Re: ベクトル / angel
ｂ・ｃ・ｂ = ｃ としているところが不適切です。

カッコで括ると (ｂ・ｃ)・ｂですが、この2つの・は、前者は内積、後者はベクトルの実数倍、と別物の演算です。

おそらく ｂ・ｃ・ｂ = (ｂ・ｂ)・ｃ のような計算をしているものと推測しますが、別物なので入れ替えはできません。
No.41589 - 2017/02/03(Fri) 21:24:58
☆ Re: ベクトル / 高3
なるほど理解しました。ありがとうございます。
No.41593 - 2017/02/03(Fri) 22:27:17