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記事No.41618に関するスレッドです
★ 数列 / 名無しの権兵衛
平面上に円を書いて平面をいくつかの部分に分ける。n個の円で分けられた部分の数をanとして、a1、a2、a3、a4を求めよ。ただしどの２つの円も互いに交わり、3つ以上の円は同一点では交わらないとする。

答えはa1=2、a2=4、a3=8、a4=14です。
No.41614 - 2017/02/04(Sat) 12:32:04
☆ Re: 数列 / 快走
n=1のときは円を一つ描いて二つの領域に分けられるのでa1=2

n＝2のときは円を二つ描いて４つの領域に分けれられるのでa2=4


n＝３のときは、集合の分野でよく出てくるベン図を思い出して....円を３つ描いて８つの領域に分けれられるのでa３=８

ここまでは具体的に書いて分かりますがa4は実際に書くのは困難なので分かりません。
No.41615 - 2017/02/04(Sat) 14:09:07
☆ Re: 数列 / らすかる
円を1個増やしたときに交点が全部でm個あった場合、
その交点を順にP[1],P[2],…P[m]とすると
P[1]からP[2]までの弧で、その弧が通った領域が二つに分割され、
P[2]からP[3]までの弧で、その弧が通った領域が二つに分割され、
・・・
P[m]からP[1]までの弧で、その弧が通った領域が二つに分割されます。
従って交点がm個あれば領域がm個増えます。
円を1個増やすとき、「どの2つの円も互いに交わる」ように
描くのですから、交点は(既にあった円の個数)×2個となりますね。
従って
円が1個、領域が2個の状態からスタートして
円を2個にすると領域が1×2=2個増えるので全部で2+2=4個
円を3個にすると領域が2×2=4個増えるので全部で4+4=8個
円を4個にすると領域が3×2=6個増えるので全部で8+6=14個
のようになります。

# 実際に描くとき、ベン図のようにする必要はないですよ。
# 2個目の円は1個目の円とわずかにずらして描き、
# 3個目の円も同じ方向にずらして描き、
# 4個目の円も同じ方向にずらして描けば
# 条件を満たします。
# 具体的には、例えば一列に並ぶ4個の点の間隔が
# 1cmずつだとして、それぞれの点を中心とする
# 半径4cmの円を描けば問題の条件を満たします。
No.41617 - 2017/02/04(Sat) 14:25:10
☆ Re: 数列 / angel
一応ワナ? というかなんというか。

それぞれの内・外の組み合わせが円の数分あるから、a[4]=2^4 ではないか? と考えると間違いで。( a[3]までは正しい )

図のように、4番目の円が、3つの円で作られていた8つの領域の内、2か所通過しないので、a[4]=16 にはならないのです。
No.41618 - 2017/02/04(Sat) 14:31:37
☆ Re: 数列 / らすかる
ちなみに、楕円を使えば4つのベン図は描けます。
No.41619 - 2017/02/04(Sat) 14:39:27
☆ Re: 数列 / 名無しの権兵衛
皆さんありがとうございました！理解できました！
交点に着目する発想はなかったです。
また宜しくお願いします
No.41623 - 2017/02/04(Sat) 15:33:39