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記事No.41684に関するスレッドです
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(No Subject)
/ サラ
引用
画像のy=sin2xとy=sin3xのグラフはこれであっていますか？また、斜線の部分をx軸周りに一回転してできる回転体の体積は何ですか？
No.41673 - 2017/02/05(Sun) 18:50:49
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Re:
/ スベンソン式
引用
だいたい合っています。「π/5」は交点のx座標ですよね？
体積は(5π/48)√((5-√5)/2)かな。まちがってるかも。
No.41679 - 2017/02/05(Sun) 19:08:24
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Re:
/ サラ
引用
恥ずかしい話、このあとの計算が分からなくて困ってます。
No.41680 - 2017/02/05(Sun) 19:24:59
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Re:
/ angel
引用
スベンソン式さんの答えで合っているようです。
計算としては、x軸周りの回転体の体積 ∫πy^2・dx の2つの差から。
※できた回転体は、y=sin3xの作る回転体からy=sin2xのつくる回転体をえぐり取った形なので。
なお、(sinx)^2 や (cosx)^2 は、cosの倍角を逆に適用することで積分計算ができます。
つまり、cos(2x)=1-2(sinx)^2 から (sinx)^2=(1-cos(2x))/2 です。
sin3xの場合なら、(sin3x)^2=(1-cos(6x))/2 というように。
No.41682 - 2017/02/05(Sun) 20:25:20
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Re:
/ サラ
引用
画像のところで、sin6π/5を数字に直せません。
108°になるのは分かるのですが…
No.41684 - 2017/02/05(Sun) 21:39:53
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Re:
/ angel
引用
結局のところ、sin(π/5) の値が焦点になるのですが ( あとはプラスかマイナスかを加味 )、
それには 36°,72°,72°の二等辺三角形を利用します。これは、自分自身に相似な二等辺三角形と、異なる形の二等辺三角形に分割できるという特殊な性質を持ちます。
求め方については、例えば↓をどうぞ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1423275974
No.41686 - 2017/02/05(Sun) 21:55:28
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Re:
/ サラ
引用
あと、π/5からXまでで回した体積も知りたいのですが、どうやって計算しますか？答えもお願いします。
No.41689 - 2017/02/05(Sun) 22:53:01
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Re:
/ angel
引用
まあ、計算はちょっと大変だと思いますが、答えは
1/12・π^2 + 5π/12・sin(2π/5) + 5π/24・sin(π/5)
= 1/12・π^2 + 5π/48・√( 10+2√5 ) + 5π/96・√( 10-2√5 )
ですね。sin(2π/5) は、やはり上で挙げた二等辺三角形を調べることで計算できます。
求め方に関しては、添付の図のように範囲を分割して。
水色の網掛けは、「回転体から回転体をくりぬいた形」として、上の話と同じように計算できます。
ピンクの網掛けは、一方の回転体のみの計算で済みます。もう一方の回転体を完全に飲み込んだ形になっているからです。
No.41691 - 2017/02/06(Mon) 00:10:47
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Re:
/ らすかる
引用
1/12・π^2 + 5π/48・√( 10+2√5 ) + 5π/96・√( 10-2√5 )
は
1/12・π^2 + 5π/96・√( 50+22√5 )
とまとめられますね。
No.41692 - 2017/02/06(Mon) 00:36:43
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Re:
/ サラ
引用
すみません。最初のほうに戻るのですが、π^2が出てきてしまいます。どこで間違えたのでしょうか？
No.41700 - 2017/02/06(Mon) 14:43:22
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Re:
/ サラ
引用
画像です。
No.41701 - 2017/02/06(Mon) 14:44:13
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Re:
/ らすかる
引用
V=π∫[0〜π/5](sin3x)^2 dx
が誤りです。
この式はsin3xとx軸に挟まれる領域を回転した場合の体積であり、求めたい回転体とは異なります。
No.41713 - 2017/02/06(Mon) 18:33:32
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Re:
/ サラ
引用
0からπ/5でのx軸の回転体を求めたいのです。
No.41714 - 2017/02/06(Mon) 19:10:32
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Re:
/ らすかる
引用
0からπ/5の、x軸に関して「何を回転した」回転体ですか？
No.41716 - 2017/02/06(Mon) 19:23:32
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Re:
/ サラ
引用
最初のほうに戻ってご覧になって下さい。
斜線部分の回転体です。
答えは(5π/48)√((5-√5)/2)になると、教えてもらいましたが、その答えにならなくて困ってます。
No.41717 - 2017/02/06(Mon) 19:33:17
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Re:
/ サラ
引用
計算過程です。
No.41718 - 2017/02/06(Mon) 19:38:17
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Re:
/ らすかる
引用
まず、sin(6π/5)=-√(10-2√5)/4 ですから
最初のπ^2/10の次は「−」でなく「＋」、また
その次の項は (√10-2√5)/4 ではなく√(10-2√5)/4 です。
（10-2√5の全体に√がかかります。）
またsin(4π/5)の方も同様に、 (√10-2√5)/4 ではなく√(10-2√5)/4 です。
No.41721 - 2017/02/06(Mon) 20:05:34
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Re:
/ サラ
引用
数字は違いますが、これであっていますか？
No.41722 - 2017/02/06(Mon) 20:24:14
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Re:
/ らすかる
引用
はい、正解です。
むしろ(5π/48)√((5-√5)/2)より綺麗な形で良いと思います。
No.41724 - 2017/02/06(Mon) 20:40:41
