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記事No.41738に関するスレッドです
★ (No Subject) / 受験生
質問です　以下の問題の赤?T部分ではどういった発想のもとでpq-[p[p-1]+1]の計算を行っているのでしょうか
また赤?T部分でp-1<pと出てなぜ赤?U部分であるといえるのでしょうか？

また?@?AのpqCp pqCqについて求めたものからｎＣｋの最大公倍数が１と出るのはなぜですか？

全体的にどういう発想のもとにこの問題を解いているのかよくわかりません
回答よろしくお願いします
No.41737 - 2017/02/06(Mon) 23:22:37
☆ Re: / 受験生
つづき
No.41738 - 2017/02/06(Mon) 23:24:54
☆ Re: / angel
全体方針です。

まずは、nCk の中で最も小さい数に着目します。それは、nC1=nC(n-1)=pq です。

これは、素因数を p と q しか持ちませんから、nCk 全体の最大公約数も、せいぜい p あるいは q あるいは pq にしかなりません。

しかしながら示したいのは (最大公約数)=1 です。そのために、

　not (pが公約数) ⇔ not ( 全てのnCk がpの倍数 ) ⇔ pの倍数でないnCkの存在
　not (qが公約数) ⇔ not ( 全てのnCk がqの倍数 ) ⇔ qの倍数でないnCkの存在

の2つを示すことを目的とします。
No.41742 - 2017/02/07(Tue) 00:09:01
☆ Re: / noname
>赤?T部分ではどういった発想のもとでpq-[p[p-1]+1]の計算を行っているのでしょうか
>赤?T部分でp-1<pと出てなぜ赤?U部分であるといえるのでしょうか？


補足すると，その箇所の説明は次の様になります：p(q-1)+1＝pq-(p-1)であることに注意すると，

0＜p(q-1)+1＝pq-(p-1)＜…＜pq-2＜pq-1.
∴0＜pq-(pq-1)＜pq-(pq-2)＜…＜pq-{pq-(p-1)}＝pq-{p(q-1)+1}.…?@

ここで，差pq-{p(q-1)+1}を計算するとその結果はp-1であるから，このことと?@より(p-1)個の正の整数pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもp-1未満であることが分かります．ところで，pが素数であることからp未満の正の整数はpの倍数ではありません．よって，(p-1)個の正の整数pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもpの倍数ではありません．
No.41745 - 2017/02/07(Tue) 00:18:15
☆ Re: / angel
さて、その目的の2つなんですが、実は nCp と nCq を調べればそれで終わります。…ここは気付かなかったらどうするんだろう、というところではあるのですが、小さな実例で考えてみます。

例えば p=5,q=3 で 15C5 を見てみます。

　15C5 = (15・14・13・12・11)/(5・4・3・2・1)
　　　　= 15/5・(14・13・12・11)/(4・3・2・1)

…15/5で、素因数5が消えていますね。しかも他の項は素因数5を持ちませんから、確かに15C5は5の倍数ではありません。

この15/5で素因数5が消えるところ、分子が5^2の倍数だと5が残るのですが、ここは5×3なので5^2の倍数にはなりえません。
また、他の4項 ( 14〜11 ) が素因数5を持たないのは、連続する5項で5の倍数が1つしかなく、既に15で出てしまっているからです。

…というのを、一般のp,qにあてはめても全く同じ話ができます。念のため挙げると
　* pqCp の計算において、pq/p の部分で p が消える
　* 分子の他の p-1項はいずれも素因数 p を持たない
　※p,qを入れ替えても同じ

こういう話をちゃんと数式で表すなら、その解答例のようになるのですが、感覚的には「約分すると5が消えるよね」が全てなのです。
No.41746 - 2017/02/07(Tue) 00:20:11
☆ Re: / 受験生
0＜p(q-1)+1＝pq-(p-1)＜…＜pq-2＜pq-1
↓
0＜pq-(pq-1)＜pq-(pq-2)＜…＜pq-{pq-(p-1)}＝pq-{p(q-1)+1}.…?@

はどうしてそうなったのでしょうか？
No.41757 - 2017/02/07(Tue) 13:03:33
☆ Re: / IT
> 0＜p(q-1)+1＝pq-(p-1)＜…＜pq-2＜pq-1
> ↓
> 0＜pq-(pq-1)＜pq-(pq-2)＜…＜pq-{pq-(p-1)}＝pq-{p(q-1)+1}.…?@
> はどうしてそうなったのでしょうか？

横から失礼します。
pq から　１行目の各項を引くと３行目の各項になる。（大きさの順番が逆になることに注意）のですが、
いきなり
0＜pq-(pq-1)=1＜pq-(pq-2)=2＜…＜pq-{pq-(p-1)}＝pq-{p(q-1)+1}=p-1.…?@　としてもいいと思います。

noname さんへ
>pq-(pq-1),pq-(pq-2),...,pq-{p(q-1)+1}はどれもp-1未満であることが分かります．
「p未満」あるいは「p-1以下」の誤りですよね？
No.41786 - 2017/02/07(Tue) 22:10:01
☆ Re: / noname
>>IT様


>「p未満」あるいは「p-1以下」の誤りですよね？

はまさに仰る通りです．ご指摘感謝致します．
No.41787 - 2017/02/07(Tue) 22:30:29
☆ Re: / 受験生
回答ありがとうございます。
理解できたところとできなかったところがあるので
自分の中で少し整理したいと思います
もしかしたらまた質問すると転がるかもしれませんがその時はよろしくお願いします
No.41819 - 2017/02/08(Wed) 19:52:48