この問題をくわしく解説してください
答えはa＝1／2、b＝−2、c＝−1、d＝6、
e＝1／2です
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No.41814 - 2017/02/08(Wed) 16:38:07
| ☆ Re: 微分 / noname | | | 一見するとシンプルな問題に思えるが，条件を使って計算して問題を解こうとすると意外に苦戦するかもしれません．本問を解くにあたって重要なことは「条件からグラフの概形をイメージすることが出来るかどうか」ということです．以下，解き方の例となります．
[解答例]
条件(i)より関数f(x)のグラフは直線x＝1に関して対称である．このことと条件(iii)よりf(x)が極小となるxの値の個数は最低でもx＝3,-1の2個である．ところで，f'(x)の式は次の3つ
?@f'(x)＝r(x-s)^3（rは0でない定数,sは定数）
?Af'(x)＝r(x-s_1)(x-s_2)^2（rは0でない定数,s_1,s_2は相異なる定数）
?Bf'(x)＝r(x-s_1)(x-s_2)(x-s_3)（rは0でない定数，s_1,s_2,s_3はどの2つも相異なる定数）
のパターンのうちどれかであり，?@の場合では
・r＞0の時，fは極小値のみを持ち，fが極小となるxの値は1個だけである
・r＜0の時，fは極大値のみを持ち，fが極大となるxの値は1個だけである
のいずれかであり，?Aの場合でも全く同様のことが言える．一方，?Bの場合では
・r＞0の時，fは極大値と極小値を持ち，fが極小となるxの値は2個で極大となるxの値は1個である
・r＜0の時，fは極大値と極小値を持ち，fが極小となるxの値は1個で極大となるxの値は2個である
のいずれかとなる．ところで，(i)と(iii)よりf(x)が極小となるxの値は最低でも2個であるから，f'(x)の式の形は?Bのパターンのr＞0の場合である．この時，f(x)の増減の仕方と(i),(iii)に注意すると，f(x)のグラフをx軸方向に-1，y軸方向に4だけ平行移動させて得られるグラフはx軸とx＝2,-2で接する．ゆえに，このグラフを持つ関数g(x)の式は
y＝g(x)＝f(x+1)+4＝t(x+2)^2(x-2)^2（t＞0）
の様な形で与えられる．ところで，関数f(x)が極大となるのは1回だけであり，この関数のグラフは直線x＝1に関して対称であるから，(ii)よりf(1)＝4である．この時，
4+4＝t(0+2)^2(0-2)^2.
∴t＝1/2.
よって，f(x)の式は
f(x)＝1/2・{(x-1)+2}^2{(x-1)-2}^2-4.
後は係数比較を行えばa,b,c,d,eの値が得られる．
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No.41815 - 2017/02/08(Wed) 17:49:42 |
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