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記事No.41829に関するスレッドです
★ 気になった問題 / √
図形を表示できなくて、すみません。
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灘中の算数で、
「２日目」の「問４」の解き方を教えてください。

「３：４：５」の直角三角形の周りに出来ていく図形達
で特に（２）の答えから、
また「３：４：５」ができることに気づきました。

よろしくお願い致します。
No.41823 - 2017/02/08(Wed) 21:32:48
☆ Re: 気になった問題 / 関数電卓
とりあえず（１）
△ABC を B を中心に反時計回りに 90°回転させると 赤 に、C を中心に時計回りに 90°回転させると 緑 になる。
図から △BDI＝△CEF＝6 だから、
六角形 DEFGHI＝9＋16＋25＋6×4＝74
No.41829 - 2017/02/09(Thu) 00:10:55
☆ Re: 気になった問題 / angel
取り敢えず、この問題の核心だけ。

3,4,5の長さに関係なく、この図のようなことが分かります。
No.41830 - 2017/02/09(Thu) 00:12:41
☆ Re: 気になった問題 / angel
ということで、色々三角形と正方形の面積が分かります。
この時点で(1)の答えが出ますね。
No.41831 - 2017/02/09(Thu) 00:23:24
☆ Re: 気になった問題 / angel
後は、残った部分 ( 台形めいた4角形3つ ) を、△ABCの方に寄せてきます。
丁度、N,M、O,J、K,L がくっつくように
( A,G,H、B,D,I、C,E,F もくっつきます )

そうすると、実はくっついた時の境界線が、△ABCの各中線になっていて、元の三角形の4倍拡大になっていることが分かります。

なので、(2)の各長さと、残りの面積も分かる、ということになります。
No.41832 - 2017/02/09(Thu) 00:40:27
☆ Re: 気になった問題 / angel
あっと。
AG,ANしか確かめてないのに、なんで全体が4倍拡大と分かるんだ、と思われるかも知れません。

が、これは上の「核心」から分かるようになっています。

Cから引いた△ABCの中線と、EFの長さの比が 1:2 となるのです。

CGは中線の2/3倍、くっつけた後のCK(CL)はEFと同じ長さですから、結局 CG:CK(CL)=1:3
Cに限らず、A,Bでも同じこと、というわけです。
※Aを実際の長さでやってるのは、直接長さが計算しやすかったからです。
No.41836 - 2017/02/09(Thu) 01:20:19
☆ Re: 気になった問題 / √
関数電卓さん　ａｎｇｅｌさん

有難うございます。
お陰さまで（１）は理解できました。

図の中の、外側の正方形で、
「５２」と「７３」の求め方が分かりません。
No.41837 - 2017/02/09(Thu) 08:59:56
☆ Re: 気になった問題 / ヨッシー

７３の方の説明をします。

三平方の定理は、中学受験では普通に使うし、等積変形で示せるので、使えるものと解釈して、
上の図のように直角を挟む２辺が３と８の直角三角形を作ると
その斜辺を１辺とする正方形の面積は
　3^2＋8^2＝73
となります。

５２の方も同様に、
　4^2＋6^2＝５２
です。
No.41839 - 2017/02/09(Thu) 10:59:29
☆ Re: 気になった問題 / √
ヨッシーさん

有難うございます。
大変よく分かりました！！
ここまでは、スッキリです。

この後が分かりません。
この問題、本当に小学生が解くの？　って感じです。
自分のバカさ加減がイヤになってました。
No.41840 - 2017/02/09(Thu) 11:41:39
☆ Re: 気になった問題 / angel
ちなみに、私の想定した正方形面積の計算は、中線定理で分かった辺の長さの二乗そのものです。

で、埋まっていないところの面積は、△ABCも含めて、「4倍拡大」ということで16倍の96、で終わりなのですが、どこが不明でしょうか?
※(2)の辺の長さは「4倍拡大」で、単純にAB,BC,CAの4倍です。

要は、この「4倍拡大」に気付けるかどうかで、ヒラメキ命です。
※答えが分かれば良いので、最悪、論理の検証はなしでも解答しちゃいます。

なお、根拠については、ざっくりと、ながら、上に一通り挙げていますので、じっくりご覧ください。
No.41844 - 2017/02/09(Thu) 12:45:11
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

> 要は、この「4倍拡大」に気付けるかどうかで、ヒラメキ命です。

核心の中線定理が、あまり分かってないのか
命の部分・なぜ４倍になるのかが分かっていません。
（私は基礎が分かっていません）
小学生は、どうやって４倍だと分かるのですか？
No.41849 - 2017/02/09(Thu) 15:41:45
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

やっと計算が合いました。
有難うございました。

でも小学生には大変難しい計算だと思います。
塾とかでは４倍になると覚え込ませて
しまっているのでしょうか？
No.41850 - 2017/02/09(Thu) 16:27:22
☆ Re: 気になった問題 / angel
> でも小学生には大変難しい計算だと思います。
> 塾とかでは４倍になると覚え込ませて
> しまっているのでしょうか？

流石に覚え込ませることはないです。それに4倍というのは流石に計算してます。
というか、いちいち覚えていたらいくらなんでも記憶力がもちません。

で、問題としてはもちろん難しいですが、計算として難しくはないと思います。
実は、「計算して答えが出せる」ということ自体が大きなヒントなのです。あまり変な形だと計算できなくなりますから。

つまり、図のように台形っぽい四角形を寄せた時にできる三角形、これが元の三角形の相似形 ( 拡大 ) ではないか、という推理です。
※受験算数では相似は定番です。

で、私の場合は直角三角形に由来する性質から、中線の存在に気付きました。中線を3本集めればできるのは重心です。つまり、重心を中心とした拡大であろうと。

図の中線と上の正方形の長さは簡単に出ます。
ここから、No.41832で説明したAG=5/3,AN=5 につながって、「4倍」と。

拡大 ( 相似 ) の根拠はある意味後付けなのです。
No.41864 - 2017/02/09(Thu) 21:27:41
☆ Re: 気になった問題 / √
ａｎｇｅｌさん

有難うございます。
中学受験の小学生は、重心は２：１の内分点であることも
知っているのですね。
私は、それさえも忘れていた状態だったので、
５／３ｃｍという数字が、どこから出てくるのかさえ
分かりませんでした。
今の小学生はスゴイ！
No.41876 - 2017/02/10(Fri) 13:26:22