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記事No.41971に関するスレッドです
★ これといていただけませんか？ / まくすうぇる
どうとけば良いのかわからなくて困っています。
教えていただけると助かります
No.41971 - 2017/02/14(Tue) 18:57:25
☆ Re: これといていただけませんか？ / X
見易くするため、双曲線関数である
tanhx(=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)))
を使っています。
学習されていなければ、元の式である
(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))
に読み替えて以下の回答をご覧下さい。
又、正攻法でガリガリ解いているだけですので
もっと簡単な方法があるかもしれません。

Cと辺QRとの接点をT(X,-(e^X+e^(-X))/2)
とします。
Cの方程式から
y'=-(e^x-e^(-x))/2
∴直線QRの方程式は
y={-(e^X-e^(-X))/2}(x-X)-(e^X+e^(-X))/2 (A)
一方
MT=∫[0→X]√{1+{-(e^x-e^(-x))/2}^2}dx
=(1/2)∫[0→X](e^x+e^(-x))dx
=(1/2)(e^X-e^(-X)) (B)
(A)より
M(t,{-(e^X-e^(-X))/2}(t-X)-(e^X+e^(-X))/2)
と置くことができますので(B)により
(t-X)^2+{{-(e^X-e^(-X))/2}(t-X)-(e^X+e^(-X))/2)+(e^X+e^(-X))/2}^2
=(1/4)(e^X-e^(-X))^2 (C)
t≦Xに注意して(C)を解くと
t=X-tanhX
∴M(X-tanhX,-2/(e^X+e^(-X)))
よって直線PMの方程式は
y=(x-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))
となるので
P(u,(u-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X)))
(X-tanhX≦u (D))
と置くことができます。
よってPMの長さについて
(u-(X-tanhX))^2
+{(u-(X-tanhX))/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))+2/(e^X+e^(-X))}^2
=(3/4)a^2 (E)
(D)に注意して(E)をuの方程式として解くと
u=(X-tanhX)+{(a√3)/2}tanhX
よってPのy座標をYとすると
Y={{(a√3)/2}tanhX}/{(e^X-e^(-X))/2}-2/(e^X+e^(-X))
=(a√3-2)/(e^X+e^(-X))
これがXの値によらない定数になるので
a√3-2=0
∴a=2/√3
No.41977 - 2017/02/14(Tue) 20:24:50