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記事No.42021に関するスレッドです
★ 積分法 / カズ
2番からどのように解けばいいのかわからないので詳しく解説をおねがいします！
No.42021 - 2017/02/16(Thu) 23:38:52
☆ Re: 積分法 / 関数電卓
x−x^2＝−(x−1/2)^2＋1/4　だから　x−1/2＝(1/2)sinθ　と置換する。
No.42023 - 2017/02/16(Thu) 23:57:46
☆ Re: 積分法 / カズ
置換まではできたのですが、そこからの計算過程がわからないのでそこの解説をお願いしてもよろしいでしょうか？
No.42026 - 2017/02/17(Fri) 01:10:46
☆ Re: 積分法 / 関数電卓
上のように置換すると、x＝(1/2)(1＋sinθ)、x∈[0,1]⇔θ∈[−π/2,π/2]、dx＝(1/2)cosθdθ、√(x−x^2)＝(1/2)cosθ

∴ 与式＝∫[−π/2,π/2](1/4)(1＋sinθ)^2(1/2)cosθ(1/2)cosθdθ
　　＝(1/16)∫[−π/2,π/2](1＋2sinθ＋(sinθ)^2)(cosθ)^2dθ
　　＝(1/8)∫[0,π/2](1＋(sinθ)^2)(cosθ)^2dθ　(∵第２項は奇関数）
　　＝(1/8)∫[0,π/2](2(cosθ)^2−(cosθ)^4)dθ
　　＝(1/8)(2･π/4−(3/16)π)
　　＝5π/128
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5Bx%5E2Sqrt%5Bx-x%5E2%5D,%7Bx,0,1%7D%5D
No.42027 - 2017/02/17(Fri) 09:25:31
☆ Re: 積分法 / 関数電卓
いま気がついたのですが、(1)を考えると x−1/2＝(1/2)cosθ と置いた方が良かったですね。同じことですが…
No.42028 - 2017/02/17(Fri) 09:30:57
☆ Re: 積分法 / カズ
なるほど！
ありがとうございます！
No.42037 - 2017/02/17(Fri) 17:24:14