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記事No.42163に関するスレッドです
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二項係数に関して
/ はじめ
引用
添付した画像で
(m-1)(m-2)(m-3)......(m-k+1)
がk!で割り切れるのはなぜですか。
No.42163 - 2017/02/21(Tue) 16:22:32
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Re: 二項係数に関して
/ ヨッシー
引用
「組み合わせが整数になる理由」で検索すると色々出てきます。
No.42167 - 2017/02/21(Tue) 18:02:09
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Re: 二項係数に関して
/ はじめ
引用
ありがとうございます。調べてみます。
No.42168 - 2017/02/21(Tue) 18:35:51
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Re: 二項係数に関して
/ IT
引用
整数論的に証明するなら、
C(m,k)=m!/{k!(m-k)!}において
任意の素数pについて
m!のpの指数は,[m/p]+[m/p^2]+…+[m/p^n]
k!のpの指数は,[k/p]+[k/p^2]+…+[k/p^n]
(m-k)!のpの指数は,[(m-k)/p]+[(m-k)/p^2]+…+[(m-k)/p^n]
ただしnはm≦p^nなる自然数.
各自然数iについて [m/p^i]＝[(k/p^i)+((m-k)/p^i)]≧[k/p^i]+[(m-k)/p^i]なので
m!のpの指数≧k!のpの指数+(m-k)!のpの指数
よって,m!はk!(m-k)!で割り切れる。すなわちC(m,k)=m!/{k!(m-k)!}は整数となる。
[a]はa以下の最大の整数を表す。（ガウス記号）
No.42170 - 2017/02/21(Tue) 20:12:28
