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記事No.42163に関するスレッドです

二項係数に関して / はじめ
添付した画像で
(m-1)(m-2)(m-3)......(m-k+1)
がk!で割り切れるのはなぜですか。

No.42163 - 2017/02/21(Tue) 16:22:32

Re: 二項係数に関して / ヨッシー
「組み合わせが整数になる理由」で検索すると色々出てきます。
No.42167 - 2017/02/21(Tue) 18:02:09

Re: 二項係数に関して / はじめ
ありがとうございます。調べてみます。
No.42168 - 2017/02/21(Tue) 18:35:51

Re: 二項係数に関して / IT
整数論的に証明するなら、

C(m,k)=m!/{k!(m-k)!}において

任意の素数pについて
 m!のpの指数は,[m/p]+[m/p^2]+…+[m/p^n]
 k!のpの指数は,[k/p]+[k/p^2]+…+[k/p^n]
 (m-k)!のpの指数は,[(m-k)/p]+[(m-k)/p^2]+…+[(m-k)/p^n]
 ただしnはm≦p^nなる自然数.
 
 各自然数iについて [m/p^i]=[(k/p^i)+((m-k)/p^i)]≧[k/p^i]+[(m-k)/p^i]なので
 m!のpの指数≧k!のpの指数+(m-k)!のpの指数

よって,m!はk!(m-k)!で割り切れる。すなわちC(m,k)=m!/{k!(m-k)!}は整数となる。

[a]はa以下の最大の整数を表す。(ガウス記号)

No.42170 - 2017/02/21(Tue) 20:12:28