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記事No.42247に関するスレッドです
★ (No Subject) / あああああああああ
円C1は円C2に点Aで内接している。

C1の接線とC2との交点のB,Cとする。

∠BACが最大になるとき、BCはC1,C2の中心O1,O2を結んだ直線に垂直になります。

なぜですか？
No.42225 - 2017/02/24(Fri) 14:52:49
☆ Re: / 山旅人
図１のように各点と角度を定める。円 C2 の半径を r (r≧1) とする。このとき，
　O2 と弦 BC の距離 O2E (＝d) は，d＝(r−1)cosθ＋1 (0≦θ≦π)
　図のφは，cosφ＝d/r
d は 0≦θ≦π で単調減少だからφは単調増加で，θ＝πで最大値をとる(図２)。

∠BAC は弧 BDC の円周角で，∠BO2C はその中心角だから，∠BAC＝φ。
よって，∠BAC の最大値はθ＝πのときで，それは BC⊥AP のときである。[証了]
No.42247 - 2017/02/25(Sat) 17:30:49
☆ Re: / 名前
元は高校入試問題なのですが、中学生にも理解できる解法はありませんか？
No.42288 - 2017/02/27(Mon) 15:09:39
☆ Re: / ヨッシー
円Ｃ1の中心をＯ1、円Ｃ2の中心をＯ2 とすると、ＡＯ2Ｏ1 は一直線上にあります。
この直線をＬとします。


Ｌと垂直な弦ＢＣを取り、∠ＢＡＣを考えると、弦ＢＣがＡに近いほど
∠ＢＡＣは大きくなります。


ＢＣが一定の時、円周角の性質より、ＢＣがＬに垂直な状態での∠ＢＡＣの
最大を考えても差し支えありません。


ＢＣがＬに垂直な位置で、円Ｃ2に接している時を考えます。
この位置より、ＢＣをさらにＡに近づけた時、Ａを含む側の弓形に入れることの出来る円は
最大でも、ＡでＣ1 に接する円（図中の小さい円）ですので、弦ＢＣが円Ｃ2 に接する条件下では、
∠ＢＡＣ をこれ以上大きく出来ません。


逆に、接線ＢＣがＬに垂直でない場合、回転させて、Ｌに垂直な位置まで持ってくると、Ｃ2 に接している状態よりも、Ａから遠くなるということでもあります。
No.42290 - 2017/02/27(Mon) 16:13:09
☆ Re: / 名前
山旅人 様の図１を参考に直接的な解法はありませんか？

よく知られた事実として図１の３点Ａ,Ｐ,Ｄは１直線に並んでいます。

小問として∠ＢＡＣ＝１５°のとき∠ＢＤＣは？(１５０°)とあり、このことを利用した解法があるのではと考えられます。
No.42291 - 2017/02/27(Mon) 17:53:17
☆ Re: / 名前
小問の訂正です。　

∠ＰＡＣ＝１５°のとき∠ＢＤＣは？(１５０°)
No.42292 - 2017/02/27(Mon) 17:58:43